Question

para cada item, esboce o grafico a partir da concavidade, dos pontos em que a parabola cruza os eixos(se existirem) e vértice.
a)y=x²-4x-5
b)y=x²-8x+16
c)y=-3x²+6x+9
d)y=-x²+4x-6
e)y=4x²+12x+16
f)-2x²-4x-2

Answer 1

a) $y=x^2-4x+5$

Concavidade

$a=1$

$a>0$

Parábola com concavidade para cima.

Interseções com os eixos

$y=0$

$x^2-4x-5=0$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{4\pm6}{2}=2\pm3$

$x'=2+3=5$ e $x"=-1$

Intercepta o eixo $x$ nos pontos $(5,0)$ e $(-1,0)$.

$x=0$

$y=0^2-4\cdot0-5=-5$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-5)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-(-4)}{2}=2$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{-36}{4}=-9$


b) $y=x^2-8x+16$

Concavidade

$a=1$

$a>0$

Parábola com concavidade para cima.

Interseção com os eixos

$y=0$

$x^2-8x+16=0$

$\Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$

$x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{0}}{2}=\dfrac{8}{2}$

$x'=x"=4$

Intercepta o eixo $x$ no ponto $(4,0)$

$x=0$

$y=0^2-8\cdot0+16=16$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,16)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-(-8)}{2}=4$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{-0}{4}=0$


c) $y=-3x^2+6x+9$

Concavidade

$a=-3$

$a<0$

Parábola com concavidade para baixo.

Interseções com os eixos

$y=0$

$-3x^2+6x+9=0$

$\Delta=6^2-4\cdot(-3)\cdot9=36+108=144$

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{144}}{2(-3)}=\dfrac{-6\pm12}{-6}$

$x'=\dfrac{-6+12}{-6}=\dfrac{6}{-6}=-1$

$x"=\dfrac{-6-12}{-6}=\dfrac{-18}{-6}=3$

Intercepta o eixo $x$ nos pontos $(-1,0)$ e $(3,0)$.

$x=0$

$y=-3\cdot0^2+6\cdot0+9=9$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,9)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-6}{-6}=1$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{-144}{-12}=12$


d) $y=-x^2+4x-6$

Concavidade

$a=-1$

$a<0$

Parábola com concavidade para baixo.

Interseção com os eixos

$y=0$

$-x^2+4x-6=0$

$\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)=16-24=-8$

$\Delta<0$

Não intercepta o eixo $x$.

$x=0$

$y=-0^2+4\cdot0-6=-6$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-6)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-4}{-2}=2$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{8}{-4}=-2$


e) $y=4x^2+12x+16$

Concavidade

$a=4$

$a>0$

Parábola com concavidade para cima.

Interseção com os eixos

$y=0$

$4x^2+12x+16=0$

$\Delta=12^2-4\cdot4\cdot16=144-256=-112$

$\Delta<0$

Não intercepta o eixo $x$.

$x=0$

$y=4\cdot0^2+12\cdot0+16=16$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,16)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{112}{16}=7$


f) $y=-2x^2-4x-2$

Concavidade

$a=-2$

$a<0$

Parábola com concavidade para baixo.

Interseção com os eixos

$y=0$

$-2x^2-4x-2=0$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot(-2)\cdot(-2)=16-16=0$

$x=\dfrac{-(-4))\pm\sqrt{0}}{-4}=\dfrac{4}{-4}$

$x'=x"=-1$

Intercepta o eixo $x$ no ponto $(-1,0)$

$x=0$

$y=-2\cdot0^2-4\cdot0-2=-2$

Intercepta o eixo $y$ no ponto $(0,-2)$.

Vértice da parábola

$x_v=\dfrac{-b}{2a}$

$x_v=\dfrac{-(-4)}{-4}=-1$

$y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$y_v=\dfrac{-0}{-8}=0$