Question

Para cada conjunto de valores, calcule a amplitude (a), a variância (s²) e o desvio padrão (s):

a) 3 — 3 — 4 — 4 — 4 — 6
b) 1 — 2 — 3 — 4 — 5
c) 15 — 22 — 18 — 20 — 21 — 23 — 14
d) 31 — 31 — 31 — 31 — 31 — 31 — 31 — 31 e) 5 — 6 — 6 — 7 — 7 — 7 — 8 — 8 — 8— 8​

Answer 1

A amplitude de uma amostra é calculada pela diferença entre o maior ($\sf x_{maior}$) e o menor ($\sf x_{menor}$) valor encontrado no conjunto.

$\boxed{\sf a~=~x_{maior}-x_{menor}}$

Já a variância e o desvio padrão de uma amostra podem ser determinadas como é mostrado abaixo.

$\underbrace{\boxed{\sf s^2~=~\dfrac{1}{n-1}\cdot \displaystyle \sum\limits^{n}_{i=1}~(x_i-\overline{x})^2}}_{\sf Variancia}~~~~~~~~~\underbrace{\boxed{\sf s~=~~\sqrt{s^2}~=~\sqrt{\dfrac{1}{n-1}\cdot \displaystyle \sum\limits^{n}_{i=1}~(x_i-\overline{x})^2}}}_{\sf Desvio~Padrao}$

Observação: "n" indica a quantidade de valores na amostra e $\sf \overline{x}$, a média da amostra.

a)

Nesta amostra, o maior valor é 6 e o menor, 3, logo:

$\sf a~=~6-3\\\\\boxed{\sf a~=~3}$

Vamos calcular a média da amostra:

$\sf \overline{x}~=~\dfrac{3+3+4+4+4+6}{6}\\\\\\\overline{x}~=~\dfrac{24}{6}\\\\\\\boxed{\sf \overline{x}~=~4}$

Para facilitar, vamos calcular agora o somatório dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média da amostra:

$\sf\displaystyle\sum\limits^{6}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(3-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{6}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(-1)^2+(-1)^2+(0)^2+(0)^2+(0)^2+(2)^2\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{6}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~1+1+0+0+0+4\\\\\\\boxed{\sf \displaystyle\sum\limits^{6}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~6}$

Por fim, podemos determinar a variância e o desvio padrão:

$\sf s^2~=~\dfrac{1}{6-1}\cdot 6\\\\\\s^2~=~\dfrac{1}{5}\cdot 6\\\\\\\boxed{\sf s^2~=~\dfrac{6}{5}~~ ou~~ 1,2}\\\\\\s~=~\sqrt{\dfrac{6}{5}}\\\\\\s~=~\dfrac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}}{5}\\\\\\\boxed{\sf s~=~\dfrac{\sqrt{30}}{5}}$

b)

Nesta amostra, o maior valor é 5 e o menor, 1, logo:

$\sf a~=~5-1\\\\\boxed{\sf a~=~4}$

Vamos calcular a média da amostra:

$\sf \overline{x}~=~\dfrac{1+2+3+4+5}{5}\\\\\\\overline{x}~=~\dfrac{15}{5}\\\\\\\boxed{\sf \overline{x}~=~3}$

Calculando o somatório dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média da amostra:

$\sf\displaystyle\sum\limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(-2)^2+(-1)^2+(0)^2+(1)^2+(2)^2\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~4+1+0+1+4\\\\\\\boxed{\sf \displaystyle\sum\limits^{5}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~10}$

Por fim, podemos determinar a variância e o desvio padrão:

$\sf s^2~=~\dfrac{1}{5-1}\cdot 10\\\\\\s^2~=~\dfrac{1}{4}\cdot 10\\\\\\\boxed{\sf s^2~=~\dfrac{5}{2}~~ ou~~ 2,5}\\\\\\s~=~\sqrt{\dfrac{5}{2}}\\\\\\s~=~\dfrac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{2}\\\\\\\boxed{\sf s~=~\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$

c)

Nesta amostra, o maior valor é 23 e o menor, 14, logo:

$\sf a~=~23-14\\\\\boxed{\sf a~=~9}$

Vamos calcular a média da amostra:

$\sf \overline{x}~=~\dfrac{15+22+18+20+21+23+14}{7}\\\\\\\overline{x}~=~\dfrac{133}{7}\\\\\\\boxed{\sf \overline{x}~=~19}$

Calculando o somatório dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média da amostra:

$\sf\displaystyle\sum\limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(15-19)^2+(22-19)^2+(18-19)^2+(20-19)^2+\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(21-19)^2+(23-19)^2+(14-19)^2\\\\\\\displaystyle\sum\limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~(-4)^2+(3)^2+(-1)^2+(1)^2+(2)^2+(4)^2+(5)^2$

$\displaystyle\sum\limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~16+9+1+1+4+16+25\\\\\\\boxed{\sf \displaystyle\sum\limits^{7}_{i=1}(x_i-\overline{x})~=~72}$

Por fim, podemos determinar a variância e o desvio padrão:

$\sf s^2~=~\dfrac{1}{7-1}\cdot 72\\\\\\s^2~=~\dfrac{1}{6}\cdot 72\\\\\\\boxed{\sf s^2~=~12}\\\\\\s~=~\sqrt{12}\\\\\\\boxed{\sf s~=~2\sqrt{3}}$

d)

Perceba que nesta amostra temos todos seus 8 valores iguais e, portanto, não há qualquer desvio amostral, isto é, teremos amplitude, variância e desvio padrão iguais a 0 (zero).

e) Este exercício está anexado, não coube aqui.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$