Question

Seja f (x,y) = x³-y. a) Determine o domínio de f b) Determine as curvas de nível dessa função e apresente graficamente algumas delas.

Answer 1

Através dos cálculos desenvolvidos, podemos ver que a função $\bf f(x,y) = x^3-y$ possui um domínio que se estende em todo o espaço $\bf \mathbb{R^2}$ eu suas curvas de nível são estas apresentadas logo acima.

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: f(x,y) = x ^{3} - y$

Em relação a esta expressão, o enunciado faz dois questionamentos, sendo eles:

• a) Determine o domínio de f:

Para determinar o domínio desta função, devemos analisar se em algum momento haverá algum valor que venha a impossibilitar a obtenção de um resultado, sendo isto conhecido também por indeterminação.

Normalmente, só há brechas no domínio da função quando ela possui um radical, uma fração, funções logarítmicas, dentre outras.

Analisando a função dada no enunciado, podemos ver que trata-se apenas da subtração de duas variáveis, operação esta que podemos fazer sem nenhum problema, ou seja, concluímos que esta função será sempre possível de resultado, não interessando os valores de x e y. Logo, temos que o domínio trata-se de todo o R², que quer dizer que qualquer valor deste espaço satisfaz a função f(x,y) em questão.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{D(f) = \mathbb{R {}^{2} }}$

________________________________

• b) Determine as curvas de nível dessa função e apresente graficamente algumas delas.

Para as curvas de nível vamos lembrar que a curva de nível de uma função $\bf z=f(x,y)$ é definida como sendo a projeção no plano xy da interseção do plano $\bf z=k$ com o gráfico de $f$ e, portanto, sua equação é $\bf f(x,y)=c$.

Este (k) citado no texto acima é basicamente representado por valores que estipulamos para assim obter as tão desejadas curvas de nível, análogo ao que fazermos quando queremos montar o gráfico de uma reta através de pontos estipulados e uma função.

Portanto vamos iniciar estipulando 6 valores para k partindo de 0, seguindo o que foi dito o texto.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k : \: 0, \: 1, \: 2, \: 3,\: 4,\:5$

Como $f(x,y) = z$ e $z = k$, ficamos com $x^3-x = k$. Portanto vamos substituir os valores de k estipulados e obter as curvas que procuramos.

$k = 0 \: \: \bigg | \: { \bf x {}^{3} - y = 0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k = 3 \: \: \bigg | \: \: { \bf x {}^{3} - y = 3}\\ k = 1 \: \: \bigg | \: { \bf x {}^{3} - y = 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k = 4 \: \: \bigg | \: \: { \bf x {}^{3} - y = 4} \\ k = 2 \: \: \bigg | \: { \bf x {}^{3} - y = 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: k = 5 \: \: \bigg | \: \: { \bf x {}^{3} - y = 5}$

Plotando estas curvas, ficamos com o mapa de contorno anexado na resposta.

Espero ter ajudado.

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