Question

Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:


T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z)


(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.


(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?


(c) Qual da dim

Answer 1

Em primeiro lugar, uma transformação linear é uma função. Por ser uma função, tem seu domínio e seu contradomínio, com a particularidade de serem espaços vetoriais. Temos dois espaços vetoriais V e W, e uma função que vai de V a W. Ou seja, uma regra de atribuição que transforma vetores de V em vetores de W. Mas nem toda função que transforma vetores de V em vetores de W é um transformação linear. Você deve atender a certas condições:

$T: V\to W$ é uma transformação linear se e somente se

$\begin{cases}\sf T\left(\vec u+\vec v\right)=T\left(\vec u\right)+T\left(\vec v\right)\\\\ \sf T\left(\alpha\vec u\right)= \alpha T(\vec u)\qquad \forall \alpha\in \mathbb{R}\end{cases}$

Para determinar que nossa transformação é uma transformação linear devemos verificar se esses dois requisitos são atendidos, temos a seguinte transformação:

$\sf T:\mathbb{R^3}\to\mathbb{R^3} ,~T\left(\begin{array}{c}\sf x\\\sf y\\ \sf z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sf x+2y+z\\ \sf x+2z \\ \sf x+y+2z\end{array}\right)$

Primeiro vamos tentar verificar que a transformação da soma de dois vetores chamados u e v é igual a transformação do vetor u mas a transformação do vetor v, a primeira coisa que faremos é pegar dois vetores u e v que estão incluídos no espaço $\mathbb{R^3}$, os vetores u e v são iguais a:

$\begin{cases}\sf \vec u =\left(\begin{array}{c}\sf x_1\\ \sf y_1\\ \sf z_1\end{array}\right)\\\\\sf \vec v =\left(\begin{array}{c}\sf x_2\\ \sf y_2\\ \sf z_2\end{array}\right) \end{cases}$

O que vamos fazer é calcular a transformação dessa soma de vetores, somando os dois vetores que obtemos como valor:

$\sf T\left[\left(\begin{array}{c}\sf x_1\\\sf y_1\\ \sf z_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\sf x_2\\\sf y_2\\ \sf z_2\end{array} \right)\right]=T\left(\begin{array}{c}\sf x_1+x_2\\\sf y_1+y_2\\ \sf z_1+z_2\end{array}\right)$

O que devemos verificar é que substituindo x por $\sf x_1+x_2$, y por $\sf y_1+y_2$ e z por $\sf z_1+z_2$ em nossa transformação, a expressão pode ser reescrita como a soma de 2 transformações idênticas à nossa transformação principal. Substituindo isso em nossa transformação, temos:

$\sf T\left(\begin{array}{c}\sf x_1+x_2\\\sf y_1+y_2\\ \sf z_1+z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sf (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\\ \sf (x_1+x_2)+2(z_1+z_2) \\ \sf (x_1+x_2)+(y_1+y_2)+2(z_1+z_2)\end{array}\right)\\\\ \sf T\left(\begin{array}{c}\sf x_1+x_2\\\sf y_1+y_2\\ \sf z_1+z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sf x_1+x_2+2y_1+2y_2+z_1+z_2\\ \sf x_1+x_2+2z_1+2z_2 \\ \sf x_1+x_2+y_1+y_2+2z_1+2z_2\end{array}\right)\\\\ \boxed{ \sf T\left(\begin{array}{c}\sf x_1+x_2\\\sf y_1+y_2\\ \sf z_1+z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sf x_1+2y_1+z_1\\ \sf x_1+2z_1 \\ \sf x_1+y_1+2z_1\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}\sf x_2+2y_2+z_2\\ \sf x_2+2z_2 \\ \sf x_2+y_2+2z_2\end{array}\right)}~\checkmark$

Podemos ver que a transformação da soma dos vetores u e v pode ser escrita como a transformação do vetor u mais a transformação do vetor v, então o que segue é verificar que a transformação pode ser escrita como α vezes um vetor u, onde α é um número real. Tentaremos verificar se o seguinte é verdadeiro:

$\sf T\left[\alpha\cdot\left(\begin{array}{c}\sf x\\\sf y\\ \sf z\end{array}\right)\right]=T\left(\begin{array}{c}\sf \alpha x\\\sf \alpha y\\ \sf\alpha z\end{array}\right)$

O que vamos fazer é substituir as componentes x, yez por αx, αy e αz em nossa transformação e uma vez feito isso, o que faremos é tentar remover α da transformação, fazendo essa substituição temos:

$\sf T\left(\begin{array}{c}\sf \alpha x\\\sf \alpha y\\ \sf\alpha z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\sf \alpha x+2\alpha y+\alpha z\\ \sf\alpha x+2\alpha z\\ \sf \alpha x+\alpha y+2\alpha z\end{array}\right)$

Observe que α é encontrado como um fator comum nas três linhas de nossa transformação, o que podemos fazer é extrair α como um fator comum em cada linha de nossa transformação, vamos extrair α como um fator comum de tal forma que quando multiplicado por cada linha nos dará o mesmo resultado, fazendo isso obtemos:

$\sf T\left(\begin{array}{c}\sf \alpha x\\\sf \alpha y\\ \sf\alpha z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\sf \alpha \cdot (x+2 y+ z)\\ \sf\alpha \cdot(x+2 z)\\ \sf \alpha \cdot (x+ y+2 z)\end{array}\right)$

O número real α pode ser extraído de nossa matriz de tal forma que ao multiplicar α pela nossa matriz de nossa transformação linear obtemos o mesmo resultado fazendo isso podemos verificar:

$\boxed{\sf T\left(\begin{array}{c}\sf \alpha x\\\sf \alpha y\\ \sf\alpha z\end{array}\right) =\alpha \cdot \left(\begin{array}{c}\sf x+2 y+ z\\ \sf x+2 z\\ \sf x+ y+2 z\end{array}\right)}~\checkmark$

Podemos ver que esta condição é verdadeira, uma vez que ambas as condições se revelaram verdadeiras podemos verificar que a nossa transformação é uma transformação linear.