Para a função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os pontos de inflexão, o esboço gráfico.
Soluções para a tarefa
Função:
Domínio:
Ou seja, qualquer número, menos 1 ou -1.
Interseções com os eixos:
Eixo x:
Igualemos a função a zero:
Portanto, a função corta o eixo x no ponto x=0.
Eixo y:
Para x = 0:
Portanto, também no ponto y=0.
Assíntotas:
Calculando os limites:
Tanto para limite ao infinito positivo quanto negativo. Portanto, temos uma assíntota horizontal, y=1.
Calculando agora o limite para x=1 e para x=-1, onde o domínio da função não existe.
O limite à direita para x tendendo a 1 é + infinito, e para à esquerda é - infinito.
Para x tendendo a -1 será o contrário, para limite à esquerda, será + infinito e à direita, - infinito.
Portanto, x=1 e x=-1 são duas assíntotas horizontais.
Para as outras respostas, primeiro, derivemos:
A derivada é negativa para x > 0 e positiva para x < 0, portanto:
Função f(x) é crescente para x < 0 e decrescente para x > 0.
Pontos de máximo e mínimo: Ao igualar a derivada a zero, veremos que o valor que obtemos é de x=0. Como a função é crescente para valores negativos e decrescente para positivos, em x=0 temos um ponto de máximo.
Derivando-se novamente:
Essa função não tem zero (raiz real), portanto, não há pontos de inflexão.
O esboço do gráfico está anexo.
Espero ter ajudado!
Anexo
5.0