Question

Para a função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos, as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os pontos de inflexão, o esboço gráfico

f(x)=x^2/x^2-1

Answer 1

Boa noite!

Função:

$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}$

Domínio:

$x^2-1\neq 0\\x^2\neq 1\\x\neq\pm 1$

Ou seja, qualquer número, menos 1 ou -1.

Interseções com os eixos:

Eixo x:

Igualemos a função a zero:

$f(x)=0\\\dfrac{x^2}{x^2-1}=0\\x^2=0\\x=0$

Portanto, a função corta o eixo x no ponto x=0.

Eixo y:

Para x = 0:

$f(0)=\dfrac{0^2}{0^2-1}=0$

Portanto, também no ponto y=0.

Assíntotas:

Calculando os limites:

$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{x^2-1}=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2/x^2}{x^2/x^2-1/x^2}\\\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{1-1/x^2}=1$

Tanto para limite ao infinito positivo quanto negativo. Portanto, temos uma assíntota horizontal, y=1.

Calculando agora o limite para x=1 e para x=-1, onde o domínio da função não existe.

$\lim_{x\to 1+} \dfrac{x^2}{x^2-1}=+\infty\\\lim_{x\to 1-} \dfrac{x^2}{x^2-1}=-\infty$

O limite à direita para x tendendo a 1 é + infinito, e para à esquerda é - infinito.

Para x tendendo a -1 será o contrário, para limite à esquerda, será + infinito e à direita, - infinito.

Portanto, x=1 e x=-1 são duas assíntotas horizontais.

Para as outras respostas, primeiro, derivemos:

$f'(x)=\dfrac{2x(x^2-1)-x^2(2x)}{(x^2-1)^2}\\f'(x)=\dfrac{2x^3-2x-2x^3}{(x^2-1)^2}\\f'(x)=\dfrac{-2x}{(x^2-1)^2}$

A derivada é negativa para x > 0 e positiva para x < 0, portanto:

Função f(x) é crescente para x < 0 e decrescente para x > 0.

Pontos de máximo e mínimo: Ao igualar a derivada a zero, veremos que o valor que obtemos é de x=0. Como a função é crescente para valores negativos e decrescente para positivos, em x=0 temos um ponto de máximo.

Derivando-se novamente:

$f''(x)=-\dfrac{2(x^2-1)^2-2x(4x^3-4x)}{(x^2-1)^4}\\f''(x)=-\dfrac{2(x^2-1)^2-8x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4}\\f''(x)=-\dfrac{(x^2-1)(2x^2-2-8x^2)}{(x^2-1)^4}\\f''(x)=-\dfrac{-6x^2-2}{(x^2-1)^3}\\f''(x)=\dfrac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}$

Essa função não tem zero (raiz real), portanto, não há pontos de inflexão.

O esboço do gráfico está anexo.

Espero ter ajudado!