Question

Os vértices de um triângulo são os pontos (1,8) , (4,1) e (7,1). Determine a área do triângulo utilizando dois métodos diferentes..

Answer 1

Resposta:

$\boxed{A=10.5\ u.A}$

Explicação passo-a-passo:

Método 1: Usando geometria analítica simples

Vamos utilizar a fórmula base * altura / 2 para o cálculo da área do triângulo.

Para facilitar os cálculos vamos encontrar algum lado do triângulo paralelo ao eixo x ou y. Para isso, verificaremos se algum destes vértices tem algum componente da coordenada (x ou y)  igual a do outro vértice.

Vejamos que os pontos (4,1) e (7,1) possui a mesmo valor de y, assim possui a mesma altura e o lado que liga estes dois pontos é paralelo ao eixo x. Este lado possui 3 unidades de comprimento: |7-4| = 3

A altura do triângulo é a altura do ponto menos a altura da reta (base) paralela ao eixo x. Fazendo o cálculo com a componente y temos |8-1| = 7

Aplicando a fórmula temos 3*7/2 = 21/2 = 10.5 Unidades de Área.

Método 2: Usando integrais de linha e o teorema de Green

Sabemos que a área de um triângulo é dado pela integral dupla

$A = \iint\limits_Ddxdy$

O teorema de Green enuncia:

Seja C uma curva positivamente orientada (Sentido anti-horário), simples e fechada em um plano e o bordo de uma região D. Se L e M são funções f(x,y) definida em uma região aberta contendo D e possuem derivadas parciais contínuas de primeira ordem nesta região, então

$\oint_C(Ldx+Mdy)=\iint_D(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y})dxdy$

Utilizando o segundo membro da equação acima e a equação da área, devemos achar L e M tais que

$\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}=1$

E vemos que M = x e L = 0 satisfaz a equação, assim temos:

$A=\oint_C(Ldx+Mdy)=\oint_Cxdy$

Agora devemos identificar a curva C que compõe o triângulo.

Vamos ter em mente como percorrer o triângulo no sentido antihorário. Sabemos que existe uma base paralela ao eixo x de altura 1 e um ponto de altura 8 em relação ao triângulo, então devemos percorrer (4,1) -> (7,1) -> (1,8) -> (4,1)

C1 = reta que liga (4,1) a (7,1)

C2= reta que liga (7,1) a (1,8)

C3= reta que liga (1,8) a (4,1)

Vamos escrever linhas Cn = (x(t),y(t)) que descreve cada uma das curvas em um intervalo de t=(a,b). Vamos colocar a=0 a b=1

C1 -> Varia o x de 4 a 7 --> $C_1=(4+3t,1)$

C2-> x varia de 7 a 1 e y varia de 1 a 8 --> $C_2=(7-6t,1+7t)$

C3-> x varia de 1 a 4 e y varia de 8 a 1 --> $C_3(=1+3t,8-7t)$

Então calculando a integral de linha, sabendo que f(x,y) = x temos:

$A=\oint_Cf(x(t),y(t))ds=\oint_Cx(t)dy=\oint_Cx(t)y'(t)dt\\\\A=\int_{c1}(4+3t)*0dt+\int_{c2}(7-6t)*7dt+\int_{c3}(1+3t)*(-7)dt\\\\A=\int\limits_0^1((4+3t)*0+(7-6t)*7+(1+3t)*(-7))dt\\\\A=\int\limits_0^1(49-42t-7-21t)dt\\\\A=\int\limits_0^1(42-63t)dt\\\\A=(42t-31.5t^2)|_0^1\\\\A=42-31.5\\\\\boxed{A=10.5\ u.A}$

Answer 2

1°)calculando a distância entre cada ponto

A(1,8)

B(4,1)

C(7,1)

DA,B=√(1-4)²+(8-1)²

=√58

DB,C=√(4-7)²+(1-1)²

=3

DC,A=√(7-1)²+(1-8)²

=√85

por teorema de Heron

A=√p(p-a)(p-b)(p-c)

p=a+b+c/2

√58≈7,6

√85≈9,2

p=7,6+9,2+3/2

p=9,9

A=√9,9×2,3×0,7×6,9

A=√109,9791

A≈10,48

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[A≈10,5 unidades de área]

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2°) usando o mesmo raciocínio mas agora encontrando a altura

a altura vai ser a distância de um ponto mais superior, que é o A, a um ponto médio da base BC, tomando em conta apenas
as coordenadas em y

8-1=7

A=b.h/2
A=3×7/2
A=10,5 unidades de área