Question

os vértices A1 (3,0) e A2 (-3,0) e a distância entre os focos igual a 8.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

No estudo de cônicas, as hipérboles são figuras resultantes do corte paralelo ao eixo de dois cones invertidos.

Para encontrarmos sua equação reduzida, devemos lembrar de alguns detalhes.

O segmento que une os vértices $A_1$ e $A_2$ é chamada de eixo real, e sua medida é igual a $2a$.

Dados os vértices no enunciado, utilizaremos a fórmula de distância entre dois pontos para calcular o valor do eixo real.

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Seja $A_1~(3, ~0)$ e $A_2~(-3,~0)$, substituímos as coordenadas na fórmula

$d_{A_1A_2}=\sqrt{(3-(-3))^2+(0-0)^2}$

Some os valores e calcule a potência

$d_{A_1A_2}=\sqrt{(3+3)^2}\\\\\\ d_{A_1A_2}=\sqrt{6^2}$

Podemos simplificar a raiz

$d_{A_1A_2}=6$

Então, esta é a medida do eixo real.

Voltando ao que foi dito anteriormente, a medida do eixo real é $2a$, logo

$2a=6$

Divida ambos os lados por 2

$a=3$

Agora, lembre-se que a distância focal é dada por $2c$

O enunciado nos disse que a distância é 8, logo

$2c=8$

Divida ambos os lados por 2

$c=4$

Então, utilize o Teorema de Pitágoras, que no caso das hipérboles, diz que

$c^2=a^2+b^2$

Substitua os valores

$4^2=3^2+b^2$

Calcule a potência

$16=9+b^2$

Subtraia 9 em ambos os lados

$b^2=7$

Retire a raiz quadrada

$b=\pm\sqrt{7}$

Como se trata de uma figura geométrica, utilizamos somente a solução positiva

$b=\sqrt{7}$

Logo, como $a$ é a distância dos vértices até o centro da hipérbole, sabemos que o centro estará nas coordenadas $(0,~0)$

Substituímos na equação reduzida da hipérbole com eixo real na horizontal

$\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$

Substitua as coordenadas e os valores

$\dfrac{(x-0)^2}{9}-\dfrac{(y-0)^2}{7}=1$

Some os valores

$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{7}=1$

Esta é a equação reduzida da hipérbole.