Question

os valores de x que satisfazem a inequação x²- 2x + 8) (x² -5x + 6) (x² - 16) < 0 são

Answer 1

Vamos lá.

São pedidos os valores de "x" que satisfazem a inequação abaixo:

(x²-2x+8)*(x²-5x+6)*(x²-16) < 0

Note que temos aí em cima o produto entre três equações do 2º grau, cujo resultado terá que ser menor do que zero, ou seja, terá que ser negativo.
Temos as seguintes funções: f(x) = x²-2x+8; g(x) = x²-5x+6; e h(x) = x²-16

Vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações acima. Depois, em função de suas raízes, encontraremos a variação de sinais de cada uma das equações dadas e, finalmente, veremos qual é o domínio da inequação originalmente dada.
Assim, temos que:

f(x) = x²-2x+8 ---> raízes: x²-2x+8 = 0 ---> Esta equação não tem raízes reais. Quando isso ocorre, veremos qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). Como o termo "a" desta equação é positivo, então a equação será SEMPRE positiva para qualquer valor de "x".
g(x) = x²-5x+6 ---> raízes: x²-5x+6 = 0 ---> x'=2; x'' = 3.
h(x) = x²-16 ---> raízes: x²-16 = 0 ---> x' = -4; x'' = 4

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas, em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = x²-2x+8 ... ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
b) g(x) = x²-5x+6... ++++++++++++(2)- - - - - - (3)++++++++++++++++++
c) h(x) = x²-16....... ++++++(-4)- - - - - - - - - - - - - - - - - - (4)+++++++++++
d) a*b*c................ ++++++(-4)- - - -(2)++++++(3)- - - -  - (4)+++++++++++

Agora veja: como queremos que o produto f(x)*g(x)*h(x) seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "d" acima, que nos fornece o resultado do produto f(x)*g(x)*h(x).
Assim, teremos que o domínio da inequação dada será:

-4 < x < 2 , ou 3 < x < 4 ---- Esta é a resposta.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução assim, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -4 < x < 2, ou 3 < x < 4}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado deste modo, o que significa o mesmo:

S = {-4; 2) ∪ (3; 4) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.