Question

Os valores de três resistores formam uma progressão aritmética. As resistências equivalentes quando os três são ligados em série e quando os três são ligados em paralelo são, respectivamente, 15 e 40/33.Multiplicando-se os números que correspondem aos valores desses três resistores obtém-se:
(A) 45
(B) 80
(C) 105
(D) 120
(E) 125

Answer 1

Ele diz que os valores dos três resistores formam uma PA(progessão aritmética).Então digamos que o primeiro resistor tem resistência igual a ''R1''.O segundo(''R2'') e o terceiro(''R3'') resistores deverão seguir a progressão aritmética:

PA = (R1 , R2 , R3)

Como é uma PA,temos que a diferença de um termo para o outro é a soma de um número,o qual chamaremos de ''q''.Logo:

PA = (R1 , R1+q , R1+2q)

Vamos dizer agora que R1 = R(fiz isso apenas para simplificar a notação).Portanto:

R1 = R
R2 = R+q
R3 = R+2q



Já temos os valores dos três resistores através das incógnitas ''R'' e ''q''.Agora vamos utilizar as informações que ele dá sobre a soma em série e a soma em paralelo.
Sendo Rt a resistência total da soma e sabendo que a soma em série é dada por Rt = R1 + R2 + R3:

15  = R1 + R2 + R3
15 = R + R+q + R+2q
15 = 3R + 3q

OBS.:Note que ''3R = R+R+R'',assim como ''3q = q+2q'',não confunda com a notação de ''R1'',''R2'' e ''R3''.Esses valores foram simplificados em função da incógnita ''R'',como foi dito.

Agora,sabendo que a resistência total da soma em paralelo é dada por
1/Rt = 1/R1 + 1/R2 = 1/R3:

1/(40/33) = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
33/40 = 1/R + 1/(R+q) + 1/(R+2q)



Ora,agora temos um sistema de duas equações:
15 = 3R + 3q
33/40 = 1/R + 1/(R+q) + 1/(R+2q)

Resolvendo a primeira:
15 = 3R+3q
15 = 3(R+q)
R+q = 5
q = 5 - R

Substituindo o ''q'' encontrado na segunda equação:
33/40 = 1/R + 1/(R+5-R) 1/(R+10-2R)
33/40 = 1/R + 1/5 + 1/(10-R)
1/R + 1/(10-R) = 33/40 - 1/5
10/(10R-R²) = 25/40
10R-R² = 400/25
10R-R² = 16
R²-10R+16 = 0
Utilizando o Método de Bhaskara:
Δ = 36
R = (10+6)/2 = 8Ω
ou
R = (10-6)/2 = 2Ω

Voltemos à segunda equação para obter o valor numérico de ''q'':
Para R=8Ω:
q = 5 - 8 = -3

Para R=2Ω:
q = 5 - 2 = 3


Substituindo os valores encontrados em R1,R2 e R3:
Para R=8Ω e q=-3:
R1 = R = 8Ω
R2 = R+q = 8-3 = 5Ω
R3 = R+2q = 8-6 = 2Ω

Para R=2Ω e q=3:
R1 = R = 2Ω
R2 = R+q = 5Ω
R3 = R+2q = 8Ω

Pelas equações vemos que não importa qual dos valores de ''R'' e de ''q'' usamos,muito menos quem é R1,R2 ou R3.Só precisamos saber de uma coisa:existem três resistores com valores de 2,5 e 8 ohms.
Podemos calcular o que o exercício pede,ou seja,a multiplicação dos valores dos três resistores:
2.5.8 = 80

Alternativa b).