os valores de m, n e p tais que 2x^2 + x + 13 = m (x - 1) (x - 3) + n (x+ 1) ( x + 2) + p (x - 2) (x+ 3) são, respectivamente, iguais a:
Resposta: 1, 2 -1
Devo esta errando em sinal. Peço ajuda.
Soluções para a tarefa
2x^2 + x + 13 = m (x - 1) (x - 3) + n (x+ 1) ( x + 2) + p (x - 2) (x+ 3)
2x² + x + 13 = m (x²-3x-x+3) + n (x²+2x+x+2) + p (x²+3x-2x-6)
2x² + x + 13 = m (x²-4x+3) + n (x²+3x+2) + p (x²+x-6)
2x²=mx²+nx²+px²
x=-4xm+3xn+xp
13=3m+2n-6p
2=m+n+p ==> p=2-m-n
1=-4m+3n+p ==>1=-4m+3n+2-m-n ==> 1 =-5m+2n+2 ==>5m-2n=1
13=3m+2n-6p ==>13=3m+2n-6*(2-m-n) ==>13=3m+2n-12+6m+6n ==> 13=9m+8n-12 ==> 9m+8n=25
5m-2n=1 ==> vezes 4 ==> 20m-8n=4 (i)
9m+8n=25 (ii)
(i)+(ii)
29m=29 ==>m=1
Usando (ii) ==> 9m+8n=25 ==> 9+8n=25 ==>n=2
Sabendo que p=2-m-n ==>p=2-1-2=-1
Resposta: m=1 , n=2 e p=-1
Explicação passo-a-passo:
2x² + x + 13 = m.(x - 1).(x - 3) + n.(x + 1).(x + 2) + p.(x - 2).(x + 3)
2x² + x + 13 = m.(x² - 4x + 3) + n.(x² + 3x + 2) + p.(x² + x - 6)
2x² + x + 13 = (m + n + p).x² + (-4m + 3n + p).x + 3m + 2n - 6p
Podemos montar o sistema:
• m + n + p = 2
• -4m + 3n + p = 1
• 3m + 2n - 6p = 13
Multiplicando a primeira equação por -1:
• m + n + p = 2 .(-1)
• -4m + 3n + p = 1
• 3m + 2n - 6p = 13
• -m - n - p = -2
• -4m + 3n + p = 1
• 3m + 2n - 6p = 13
Somando as duas primeiras equações:
-m - 4m - n + 3n - p + p = -2 + 1
-5m + 2n = -1
5m - 2n = 1
Multiplicando a primeira equação por 6:
• m + n + p = 2 .6
• -4m + 3n + p = 1
• 3m + 2n - 6p = 13
• 6m + 6n + 6p = 12
• -4m + 3n + p = 1
• 3m + 2n - 6p = 13
Somando a primeira e a terceira equações:
6m + 3m + 6n + 2n + 6p - 6p = 12 + 13
9m + 8n = 25
Podemos montar o sistema:
• 5m - 2n = 1
• 9m + 8n = 25
Multiplicando a primeira equação por 4:
• 5m - 2n = 1 .4
• 9m + 8n = 25
• 20m - 8n = 4
• 9m + 8n = 25
Somando as equações membro a membro:
20m + 9m - 8n + 8n = 4 + 25
29m = 29
m = 29/29
m = 1
Substituindo na primeira equação:
5.1 - 2n = 1
5 - 2n = 1
2n = 5 - 1
2n = 4
n = 4/2
n = 2
Substituindo m por 1 e n por 2 em m + n + p = 2:
1 + 2 + p = 2
3 + p = 2
p = 2 - 3
p = -1