Os sinais das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função nos fornecem informações sobre o comportamento desta e a identificação de valores de máximo e mínimo local. Aplicando o Teste da Primeira e Segunda Derivada à função f(x) = x (x+2)³ assinale a alternativa correta.
Alternativas
Alternativa 1:
A função f é decrescente no intervalo (- infinito -1/2)
Alternativa 2:
f (-1) é um valor de mínimo local.
Alternativa 3:
O gráfico de f é côncavo para cima no intervalo ( - 2, - 1).
Alternativa 4:
A função possui um ponto de inflexão em (- 1/2, - 27/16).
Alternativa 5:
f (-2) é um valor de máximo local.
Soluções para a tarefa
Aplicando o testa da primeira e segunda derivada à função f (x) = x (x+2)³, podemos dizer que a alternativa correta é: é a alternativa 1 tendo em vista que todas as outras alterativas estão incorretas e a alternativa 1 não está escrita na pergunta.
Vamos aos dados/resoluções:
O teste da primeira derivada nos dá os pontos críticos, que são os máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela (que não é máximo e nem mínimo local).
Aplicando o teste da primeira derivada na função teremos como resultado a seguinte expressão ;
f' (x) = (x+2)³ + 3x (x + 2)² = 0, ou seja, possui os pontos [-2 , -0.5] como raízes.
Aplicaremos agora o teste da segunda derivada para encontrar a concavidade da função nos pontos críticos.
Lembre-se que a derivada segunda no ponto for maior que zero, a concavidade é para cima.
Se for menor que zero, para baixo
Se for zero, é ponto de sela, logo ;
f'' (x) = 3 (x+2)² + 3 (x+2)² + 6x (x + 2) = 0.
Para x = -2, teremos um ponto de sela ;
F'' (x) = 3 (-2 + 2)² + 3 ( -2 + 2)² + 6 (-2) (-2 + 2) = 0.
Finalizando então, para x = -0.5, teremos um ponto de mínimo pois a concavidade da mesma é direcionada pra cima, portanto ;
f'' (x) = 3 (-0.5 + 2)² + 3 (-0,5 + 2)² + 6 (-0,5) (-0.5 + 2)
F'' (x) = 3 (1.5)² + 3 (1.5)² + 6 (-0.5) (1.5) = 45;
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)
Resposta:Aplicando o testa da primeira e segunda derivada à função f (x) = x (x+2)³, podemos dizer que a alternativa correta é: é a alternativa 1 tendo em vista que todas as outras alterativas estão incorretas e a alternativa 1 não está escrita na pergunta.
Explicação passo a passo: