Question

Os sensores são amplamente utilizados no nosso cotidiano . Um sistema com três lasers . foi montado conforme a figura ao lado , na superfície de um planeta que não possui atmosfera . Cada laser gera um raio de luz horizontal que alimenta uma célula fotoelétrica e esta manda um sinal para uma espécie de cronômetro . Uma pequena pedra é abandonada acima desses raios de luz . Quando passa por um desses raios de luz , a pedra interrompe o fornecimento de energia para a célula fotoelétrica que para de mandar o sinal por uma pequena fração de segundo , o que registra a passagem da pedra pela altura do laser . Sabendo que o cronômetro registrou o intervalo de tempo que a pedra levou entre o primeiro e o segundo raio de luz como 0,2 segundos e entre o segundo e o terceiro raio de luz como 0,1 segundos , qual a aceleração da gravidade na superfície desse planeta . 
a) 2 m/s²b) 3 m/s²c) 4 m/s²d) 5 m/s²e) 6 m/s²

Answer 1

$Boa \ noite, \ meu \ amigo \ \bold{Ludeen}!$

$\Delta S_{(t)} \ = \ v_{(0)} \ \cdot \ t \ + \ \frac{a \ \cdot \ t^2}{2}$

$\Delta S_{(t)} \ \rightarrow \ Deslocamento \ em \ fun\c{c}\~ao \ de \ um \ tempo \ t; \\ v_{(0)} \ \rightarrow \ Velocidade \ inicial; \\ t \ \rightarrow \ Intervalo \ de \ tempo; \\ a \ \rightarrow \ Acelera\c{c}\~ao.$

$v_{(t)} \ = \ v_{(0)} \ + \ a \ \cdot \ t \\ \\ v_{(t)} \ \rightarrow \ Velocidade \ em \ fun\c{c}\~ao \ de \ um \ tempo \ t; \\ v_{(0)} \ \rightarrow \ Velocidade \ inicial; \\ t \ \rightarrow \ Intervalo \ de \ tempo; \\ a \ \rightarrow \ Acelera\c{c}\~ao.$

$Das \ f\'ormulas \ da \ Din\^amica, \ na \ queda \ livre, \ o \ corpo \ tem \ resultante \\ \vec{F_{r}} \ = \ \vec{P}. \\ Ou \ seja, \ a \ sua \ acelera\c{c}\~ao \ a \ = \ g, \ que \ g \ \'e \ a \ da \ gravidade \ do \ local.$

$D\'a \ para \ ver \ que \ o \ corpo, \ ao \ passar \ pelo \ primeiro \ laser, \ j\'a \\ adquiriu \ uma \ velocidade \ inicial \ v_{(0)}. \ Vamos \ contar \ o \ movimento \\ a \ partir \ da\'i.$

$Primeira \ situa\c{c}\~ao \ \Rightarrow \\ \\ O \ corpo, \ com \ velocidade \ inicial \ v_{(0)}, \ acelerado \ por \ a \ = \ g, \\ num \ intervalo \ de \ tempo \ t_{(1)} \ = \ 0,2 \ s, \ desloca-se \ \Delta S \ = \ 20 \ cm \ / (0,2 \ m) \ :$

$0,2 \ = \ 0,2 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ \frac{g \ \cdot \ (0,2)^2}{2} \ \rightarrow \\ \\ 0,2 \ = \ 0,2 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ \frac{0,04 \ \cdot \ g}{2} \ \rightarrow \\ \\ 0,2 \ = \ 0,2 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 0,02 \ \cdot \ g \ \rightarrow \\ \\ \boxed{10 \ = \ 10 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ g}$

$Nessa \ situa\c{c}\~ao, \ ele \ sai \ com \ uma \ velocidade \ v_{(1)} : \\ \\ \boxed{v_{(1)} \ = \ v_{(0)} \ + \ g \ \cdot \ 0,2}$

$Segunda \ situa\c{c}\~ao \ \Rightarrow \\ \\ O \ corpo, \ acelerado \ de \ a \ = \ g, \ com \ agora \ uma \ velocidade \ inicial \\ = \ v_{(1)}, \ em \ t \ = \ 0,1 \ s, \ desloca-se \ \Delta S \ = \ 16 \ cm \ = \ 0,16 \ m :$

$0,16 \ = \ v_{(1)} \ \cdot \ 0,1 \ + \ \frac{g \ \cdot \ (0,1)^2}{2} \ \rightarrow \\ \\ 0,16 \ = \ (v_{(0)} \ + \ g \ \cdot \ 0,2) \ \cdot \ 0,1 \ + \ \frac{g \ \cdot \ 0,01}{2} \ \rightarrow \\ \\ 32 \ = \ 20 \ \cdot \ (v_{(0)} \ + \ g \ \cdot \ 0,2) \ + \ g \ \rightarrow \\ \\ 32 \ = \ 20 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 4 \ \cdot \ g \ + \ g \ \rightarrow \\ \\ \boxed{32 \ = \ 20 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 5 \ \cdot \ g}$

$Multiplicando \ a \ primeira \ equa\c{c}\~ao \ por \ 2 : \\ \\ 2 \ \cdot \ (10 \ = \ 10 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ g) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{20 \ = \ 20 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 2 \ \cdot \ g}$

$Subtraindo \ as \ rela\c{c}\~oes \ \rightarrow \\ \\ (32 \ = \ 20 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 5 \ \cdot \ g) \ - \ (20 \ = \ 20 \ \cdot \ v_{(0)} \ + \ 2 \ \cdot \ g) \ \rightarrow \\ \\ 12 \ = \ 3 \ \cdot \ g \ \rightarrow \\ \\ g \ = \ \frac{12}{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{g \ = \ 4 \ \frac{m}{s^2}}} \ \rightarrow \ Acelera\c{c}\~ao \ gravitacional \ do \ planeta! \\ \\ \bold{Alternativa \ 'c)'.}$