Question

 Os seguintes pares de números reais são raízes de uma equação do 2º grauna incógnita x. determine cada uma das equações a seguir.
 
a)  1   e - 4
     2 

b) 4 +  √2 e 4-√2 

queria tbm a resposta e a explicação de como resolver essas duas questoes

Answer 1

Há uma fórmula que permite obter uma equação de segundo grau a partir de suas raízes:  É ela:

$\boxed{ x^{2} -Sx+P=0}$

Onde S é a soma das raízes e P o produto delas.

Aplicando isso:

$a)\\ S=\frac{1}{2}+(-4)=-\frac{7}{2}\\ \\ P=\frac{1}{2}*(-4)=-2\\ \\ x^2+\frac{7}{2}x-2=0\\ \\ \boxed{2x^2+7x-4=0}$

$b)\\ S=4+\sqrt2+4-\sqrt2=8\\ \\ P=(4+\sqrt2)(4-\sqrt2)=16-2=14\\ \\ \boxed{x^2-8x+14=0}$

Answer 2

Se $m$ e $n$ são as raízes da equação $ax^2+bx+c=0$, então

$ax^2+bx+c=(x-m)(x-n)$.

a) Se $m=\dfrac{1}{2}$ e $n=-4$, temos:

$ax^2+bx+c=(x-\frac{1}{2})(x+4)=x^2+4x-\dfrac{x}{2}-2$, ou seja:

$2x^2+8x-x-4=0$

$2x^2+7x-4=0$


b) $m=4+\sqrt{2}$ e $n=4-\sqrt{2}$:

$ax^2+bx+c=(x-4-\sqrt{2})(x-4+\sqrt{2})=x^2-4x+\sqrt{2}x-4x+16-4\sqrt{2}-\sqrt{2}x+4\sqrt{2}-2$

ou seja:

$x^2-8x+14=0$