Question

Os raios do Sol incidem sobre um poste vertical e projetam
uma sombra de 5 metros de comprimento sobre uma
superfície plana. Sabendo-se que o ângulo de incidência
é de 67,5º, então, nessas condições, podemos dizer que a
altura do poste é

A ( ) 2. (√2 -1 ) metros.
B ( ) 3. (√2 -1 ) metros.
C ( ) 4. (√2 -1 ) metros.
D ( ) 5. (√2 -1 ) metros

Answer 1

     Utilizando a relação tangente, temos:

$tan(67.5^{\circ})= \frac{h}{5} \\ h=5tan( \frac{135^{\circ}}{2}) \\ h=5\times \sqrt{ \frac{1-cos(135^{\circ})}{1+cos(135^{\circ})} } \\ h=5\times\sqrt{ \frac{1-(-cos(45^{\circ}))}{1-cos(45^{\circ})} } \\ \\ h=5\times\sqrt{ \frac{\frac{2+ \sqrt{2} }{2} }{\frac{2- \sqrt{2} }{2}} } \\ h=5\times\sqrt{ \frac{(2+ \sqrt{2})(2- \sqrt{2})}{(2- \sqrt{2})^2} } \\ h=5\times\frac{\sqrt{(4-2)}}{(2- \sqrt{2})} \\ h=5\times\frac{\sqrt{2}(2- \sqrt{2})}{(4-2)} \\ \boxed {h=5\times\ ( \sqrt{2}-1) }$

Letra D