Question

Os produtos escalar e vetorial possuem interpretações algébricas e geométricas. Em relação ao produto vetorial, algebricamente, sua operação produz um vetor. Em relação à interpretação geométrica, o módulo do produto vetorial equivale à área de um paralelogramo. Desta forma, dados os pontos: A(1,1,0) B(0,1,2) C(4,1,0) , representados pela figura abaixo:

Qual a área do paralelogramo de vértices ABCD?

A) 4 unidades de área.
B) 6 unidades de área.
C) 5 unidades de área.
D) 2 unidades de área.
E) 12 unidades de área.

Answer 1

Utilizando produto vetorial basico de funções, temos que o modulo do vetor resultante, igual a área do paralelograma é de 6 unidades.

Explicação passo-a-passo:

Como não temos a figura, vou supor que o ponto D é o encontro das retas paralelas aos vetores AB e AC.

Então para sabermos a área deste paralelo gramo, precisamos saber os vetores AB e AC:

AB = (0,1,2) - (1,1,0) = (-1,0,2)

AC = (4,1,0) - (1,1,0) = (3,0,0)

Agora que temos os dois vetores que formam o paralelograma, para termos a área, basta fazermos o seu produto vetorial:

AB x AC, que é dado pelo determinante da seguinte matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&0&2\\3&0&0\end{array}\right]$

Fazendo o determinante temos:

AB x AC = (0)i + (6)j + (0)k = (0,6,0)

Como o vetor resultante só tem componentes em uma direção o modulo seria a raíz da soma dos cquadrados dos componentes, que neste caso será 6.

Letra B).