Question

Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Determinar a área do triângulo ABC.

Answer 1

Os pontos médios de um triângulo, se conectados, estes pontos médios dividem o triângulo maior em quatro triângulos de mesma área.

Então podemos usar os pontos médios e calcular a área do triângulo formada por estes pontos e multiplicar esta área por 4.
Para calcular a área de um triângulo usando 3 vértices, usa-se a fórmula:
$A = \dfrac{1}{2} * |D|$

onde,
$D = \left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&z_a\\x_b&y_b&z_b\\x_c&y_c&z_c\end{array}\right]$

Podemos calcular o determinante de D utilizando a Regra de Sarrus. Sendo D:
 $D = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$

Seu determinante é 2.

Então a área do triângulo ABC é 4 vezes a área de MNP. Sendo assim:
$A_{ABC} = 4*A_{MNP} = 4 * \dfrac{1}{2} *2 = 4$

Answer 2

Resposta:

Método usado: Produto Vetorial

Explicação passo-a-passo:

O método correto de fazer essa questão é analisando o triângulo e utilizando o produto vetorial.

1) Passo

Uni-se os pontos médios para formar um triângulo interno, chamado de MNP, este triângulo corresponde a 1/4 do triângulo ABC, basta analisar desenhando a figura.

2) Passo

Depois acha-se os vetores do triângulo interno, exemplo: MN e MP. Faz-se o produto vetorial.

3) Passo

Achando-se o vetor, tira-se o módulo dele, esse valor corresponde a área do paralelogramo interno.

4) Passo

Dividir o valor por 2 para achar a área do triângulo MNP.

5) Passo

Agora só multiplicar por 4, pois essa área corresponde ao triângulo MNP, assim obtendo o valor.

Resposta: $4\sqrt{2}$

Nas fotos os cálculos estão demonstrados.