Question

os pontos L,M e N sao pontos medios de aresta do cubo, quanto mede o angulo LMN

Answer 1

Um cubo é formado por 12 arestas de tamanho "a".
O ponto médio vale a/2. Se colocarmos um cubo num espaço tridimensional com coordenadas (x,y,z) e os pontos médios nos eixos, temos que os pontos L, M e N são:

L = (0, 0, a/2)
M = (0, a/2, 0)
N = (a/2, 0, 0)

Vamos formar dois vetores LM e MN:
$\overrightarrow{L M} = M - L = (0, a/2,0) - (0, 0,a/2) = (0, a/2, -a/2)\\ \overrightarrow{M N} = N - M = (a/2, 0,0) - (0, a/2,0) = (a/2, -a/2, 0)$

O ângulo entre dois vetores é dado por:
$cos( \alpha ) = \dfrac{ LM \cdot MN}{|LM|*|MN|}$


Calculando:
$LM \cdot MN = (0, a/2, -a/2) \cdot (a/2, -a/2, 0) = \frac{-a^2}{4}$
$|LM| = \sqrt{0^2+(a/2)^2+(-a^/2)^2} = \frac{a \sqrt{2} }{2} \\ |MN| = \sqrt{(a/2)^2+(-a^/2)^2+0^2} = \frac{a \sqrt{2} }{2} \\ |LM|*|MN| = \frac{a \sqrt{2} }{2} * \frac{a \sqrt{2} }{2} = \frac{a^2}{2}$

O ângulo LMN é:
$cos( \alpha ) = \dfrac{ \frac{-a^2}{4} }{ \frac{a^2}{2} } \\ \\ \\ cos( \alpha ) = -\dfrac{1}{2} \\ \\ \alpha = cos^{-1}(- \frac{1}{2} ) \\ \\ \alpha = 120 graus$