Question

Os pontos D(2,3) , R (-1,2) e M (1,-5) são os pontos médios dos lados AB, BC, CA do triângulo ABC. Ache a equação da mediana traçada pelo vértice A.

Resolucao explicada pfv

Answer 1

Sabendo que o ponto médio de um segmento AB pode ser encontrado pela expressão abaixo, podemos usá-la para encontrar os vértices do triângulo.

M = (Ax+Bx/2, Ay+By/2)

O ponto D é médio de AB, logo:

(Ax + Bx)/2 = 2

Ax + Bx = 4

(Ay + By)/2 = 3

Ay + By = 6

Fazendo o mesmo para os outros segmentos:

(Bx + Cx)/2 = -1

Bx + Cx = -2

(By + Cy)/2 = 2

By + Cy = 4

(Cx + Ax)/2 = 1

Cx + Ax = 2

(Cy + Ay)/2 = -5

Cy + Ay = -10

Daí, temos 6 equações e 6 incógnitas, resolvendo para as abcissas, temos:

Ax + Bx = 4

Bx + Cx = -2

Cx + Ax = 2

Subtraindo as duas primeiras equações, temos:

Ax - Cx = 6 → Ax = 6 + Cx

Cx + Ax = 2 → Cx + 6 + Cx = 2 → 2Cx = -4 → Cx = -2

Com este valor, encontramos Ax = 4 e Bx = 0.

Fazendo o mesmo para as ordenadas:

Ay + By = 6

By + Cy = 4

Cy + Ay = -10

Subtraindo as duas primeiras equações, temos:

Ay - Cy = 2 → Ay = 2 + Cy

Cy + Ay = -10 → Cy + 2 + Cy = -10 → 2Cy = -12 → Cy = -6

Com este valor, encontramos Ay = -4 e By = 10.

A equação da mediana pode ser encontrada utilizando os pontos A e R:

-4 = a.4 + b

2 = a.(-1) + b

Subtraindo as equações:

-6 = 5a

a = -6/5

b = 4/5

A equação da mediana é: y = (-6x + 4)/5.