Question

como resolvo? $\sqrt{ \sqrt{7 x^{2} +18}$ = x

Answer 1

Primeia parte é remover as raízes utilizando a sua função inversa, ou seja, f(x) = x².

$\sqrt{ \sqrt{7 x^{2} +18}} = x\\\\ (\sqrt{ \sqrt{7 x^{2} +18}})^2 = x^2\\\\ \sqrt{7 x^{2} +18}} = x^2\\\\ (\sqrt{7 x^{2} +18}})^2 = (x^2)^2\\\\ 7x^{2} +18 = x^4\\\\ -x^4 + 7x^{2} +18 = 0$

Perceba que tive que usar duas vezes minha função f(x) para remover as raízes no que resultou numa equação biquadrada. Agora vem a parte que envolve mais passos.

Sendo a função -x⁴ + 7x² + 18 = 0 vou chamar x² = k que vai representar os valores de x² nesta equação.

-k² + 7k + 18 = 0, que em produtos notáveis fica

-(k - 9)(k + 2) = 0, que para ser igual a zero basta um dos termos ser igual a zero.

k' = 9
k'' = -2

ps.: você não precisa desses valores, apresentei aqui apenas caso queira verificar em -k² + 7k + 18 = 0. O importante até aqui é apenas o produto notável.

Temos aqui os valores de x², porém o que queremos é x⁴. Como k = x² logo k² = x⁴. Vamos substituir na equação -(k - 9)(k + 2) = 0.

-(k² - 9)(k² + 2) = 0, que para ser igual a zero basta um dos termos ser igual a zero.

(primeiro termo)
-(k² - 9) = 0
-k² + 9 = 0
k² = 9
√k² = √9
|k| = 3
k' = 3
k'' = -3

(segundo termo)
(k² + 2) = 0
k² = -2
√k² = √-2
|k| = √(-1 x 2)
|k| = i√2
k' = i√2
k'' = -i√2

Temos agora todos os valores de k que representa as raízes da primeira equação em função de x.

S = {-3, 3, -i√2, i√2)