Question

Os pontos a seguir representam as localizações de três aviões, sendo que todos partiram do mesmo local indicado pelo ponto O. (Figura 1)

Com as informações dadas, faça uma demonstração para classificar as afirmações a seguir como verdadeira ou falsa. (Figura 2)

Answer 1

As afirmativas verdadeiras são: I e II. A afirmativa falsa é a III. As conclusões foram feitas com base na teoria entre a distância entre dois pontos.

Distância entre Pontos

A distância entre dois pontos pode ser encontrada através do menor caminho percorrido entre os pontos A e B, estando os pontos no plano bi-dimensional ou tri-dimensonal.

Graficamente, podemos demonstrar o comprimento da distância entre dois pontos através de um segmento de reta ligando os pontos A e B. Matematicamente, dizemos que temos um vetor interligando os pontos A e B de módulo igual à distância existente entre os pontos.

A distância pode ser calculada através da equação:

$d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} +(y_{1}-y_{2})^{2} +(z_{1}-z_{2})^{2} }$

sendo as coordenadas de x2, y2, x2 iguais a zero quando um dos pontos é a origem.

Avaliando as Afirmativas

Afirmativa I - Verdadeira

Conforme discutido, a distância entre dois pontos é igual ao módulo do vetor existente entre os dois pontos.

Afirmativa II - Verdadeira

O vetor de coordenadas existente em um segmento de reta é dado pela diferença entre os pontos cartesianos de ambos os pontos.

Para encontrar o vetor de coordenadas entre os pontos A e C, devemos calcular:

CA = C - A

CA = (4, 17, 2) - (3, 5, 1)

CA = 1, 12, 1

Por tanto, o vetor de coordenadas é representado por (1, 12, 1).

Afirmativa III - Falsa

Para avaliar qual dos aviões está mais distante, precisamos calcular a distância de ambos até a origem. Como a origem pode ser representada por (0, 0, 0), apenas as coordenadas da posição de cada avião será elevada ao quadrado.

Avião B:

$d=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } \\d=\sqrt{(-1)^{2} +12^{2} +9^{2} }\\d=\sqrt{1+144+81}\\d= \sqrt{226}\\ d=15,03$

Avião C:

$d=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } \\d=\sqrt{4^{2} +17^{2} +2^{2} }\\d=\sqrt{16+289+4}\\d= \sqrt{309}\\ d=17,6$

O avião B está a uma distância de 15,03 u.d. da origem, enquanto que o avião C está a uma distância de 17,6 u.d. da origem. Por tanto, o avião C está mais distante.

Saiba mais sobre Distância entre Pontos em:

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