Question

os pontos a(5,3), b(2, − 6) e c(2, − 1) estão alinhados, ou seja, eles são colineares?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Podemos dizer se 3 pontos são colineares por meio de uma operação matricial. Ou seja, basta que verificar se o determinante da matriz descrita abaixo é igual ou diferente de 0(zero).

$\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right] = 0$   Onde  (x1,y1), (x2,y2)e  (x3,y3) são as coordenadas de cada ponto.

Se o determinante é igual a zero, os três pontos são colineares.

Para calcular o determinante, primeiro devemos repetir as duas primeiras linhas logo abaixo da matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{array}\right]$  

substituindo os valores:

$\left[\begin{array}{ccc}5&3&1\\2&-6&1\\2&-1&1\\5&3&1\\2&-6&1\end{array}\right]$

e depois multiplicar as diagonais, no sentido 1 e no sentido dois, sendo que os resultados obtidos quando se multiplica as diagonais em um sentido deve ter seu sentido trocado, assim(ver imagem anexa):

SENTIDO 1:

1.y2.x1 = 5.(-6).1 = -30 => nesse sentido, vamos manter o sinal.

1.y3.x2 = 2.(-1).1 = -2

1.y1.x3 = 2.3.1 = 6

SENTIDO 2:

1.y2.x3 = 1.(-6).2 = -12 => trocando o sinal, temos: = 12

1.y3.x1 = 1.(-1).5 = = -5 => 5

1.y1.x2 = 1.3.2 = 6 => -6

Agora, basta somar todos os valores obtidos:

-30 + (-2) + 6 + 12 + 5 + (-6) = -15

Portanto, o determinante da matriz é diferente de zero, logo, os ponto não são colineares.