Question

Os pontos A(-3;4) e B(5;-2) são extremidades do diâmetro de uma circunferência. Determine o centro e o raio dessa circunferência.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

É dito na questão que A e B são extremidades do diâmetro de uma circunferência, logo, se nós calcularmos o ponto médio do segmento de reta AB, ou seja, o diâmetro dessa circunferência, nós encontramos as coordenadas do centro da mesma.

*Para calcular o ponto médio de um segmento de reta, nós utilizamos o seguinte conceito:

$M = (\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2})$

Onde a coordenada x do ponto médio é a soma das coordenadas x dos pontos A e B dividido por 2 e  a coordenada y do ponto médio é a soma das coordenadas y dos pontos A e B dividido por 2.

Como sabemos, o ponto médio (M) do nosso segmento AB é igual ao centro da circunferência, logo, as suas coordenadas serão as mesmas.

$C=M = (\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2})\\C= (\frac{-3+5}{2},\frac{4+(-2)}{2})\\C= (\frac{2}{2},\frac{2}{2})\\C=(1,1)$

*Para encontrarmos o tamanho do raio dessa circunferência, basta observamos que o ponto médio do segmento AB é por definição o ponto onde divide o segmento AB em dois pedaços iguais. Como esse segmento é o diâmetro da circunferência, podemos dizer que esses dois pedaços iguais que são separados por $C$, são os raios dessa circunferência, já que por definição o raio de uma circunferência é a metade do diâmetro. Com isso em mente, para encontrar o tamanho do raio basta calcularmos a distância entre o centro da circunferência e uma das extremidades do diâmetro.

Para calcularmos essa distância entre pontos, vamos utilizar a seguinte expressão:

$d^{2} =(x-x_{0})^{2} +(y-y_{0})^{2}$

Para fazer esse cálculo eu vou utilizar os pontos $A$ e $C$, Mas também poderia ter sido utilizados os pontos $B$ e $C$ já que teoricamente esses dois segmentos possuem o mesmo tamanho.

$d^{2} _{AC} =(x_{A}-x_{C})^{2} +(y_{A}-y_{C})^{2}\\d_{AC} =\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2} +(y_{A}-y_{C})^{2}} \\d_{AC} =\sqrt{(-3-1)^{2} +(4-1)^{2}} \\d_{AC} =\sqrt{(-4)^{2} +3^{2}}\\ d_{AC} =\sqrt{16 +9} \\ d_{AC} =\sqrt{25}\\ d_{AC} =5$

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$r=5$