Question

Os pontos A(3, 1), B(5, 3), C(7, 3) e D(p, 0) são vértices de um quadrilátero e  é a medida do ângulo entre os lados AB e AD, conforme mostra a figura.

Sabendo-sequecos alfa =0,5ovalordepé
a) 4+5
b) 5+2
c) 5+3
d) 6−2
e) 6−3

Answer 1

O valor de p é 5 + √3.

Primeiramente, vamos determinar os vetores AB e AD.

Dados que A = (3,1), B = (5,3) e D = (p, 0), temos que:

AB = (5,3) - (3,1)

AB = (2,2)

e

AD = (p,0) - (3,1)

AD = (p - 3,-1).

Agora, vamos calcular o produto interno entre esses vetores:

<AB,AD> = 2.(p - 3) + 2.(-1)

<AB,AD> = 2p - 6 - 2

<AB,AD> = 2p - 8.

Calculando a norma dos vetores AB e AD, obtemos:

||AB||² = 2² + 2²

||AB||² = 4 + 4

||AB||² = 2.4

||AB|| = 2√2

e

||AD||² = (p - 3)² + (-1)²

||AD||² = p² - 6p + 9 + 1

||AD||² = p² - 6p + 10

||AD|| = √(p² - 6p + 10).

O ângulo entre os vetores é definido por:

cos(α).||AB||||AD|| = <AB,AD>

1/2.(2√2).√(p² - 6p + 10) = 2p - 8

√2.√(p² - 6p + 10) = 2p - 8

√(2p² - 12p + 20) = 2p - 8

2p² - 12p + 20 = (2p - 8)²

2p² - 12p + 20 = 4p² - 32p + 64

2p² - 20p + 44 = 0

p² - 10p + 22 = 0.

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para p: 5 - √3 e 5 + √3.

Observe que, como a coordenada x do ponto A é 3, então a coordenada x do ponto D tem que ser maior que 3.

Logo, o valor de p é 5 + √3.