Question

Os pontos A(2,-4) B(-2,1) C(-4,5) são verticies de um triangulo. Determine o comprimento da mediana AM do triangulo ABC e as coordenadas do seu baricentro.

Answer 1

Boa tarde Nenemfrenet!

Bom! Para determinar o comprimento da mediana AM,precisamos encontrar o ponto médio da base do triângulo que é indicado pelo seguimento BC.

$A(2,-4)$

$B(-2,1)$

$C(-4,5)$

$M=\overline{AB}$

Ponto médio de AB é dada pela formula.

$M= \frac{(Xc+Xb}{2}, \frac{Yc+Yb)}{2}$

Substituindo os valores dos pontos na formula fica assim.

$M= \frac{(-4-2)}{2}, \frac{(5+1)}{2}$

$M= \frac{(-6)}{2}, \frac{(6)}{2}$

$M=(-3,3)$

Usando agora a formula da distância para determinar  AM.

$Sendo~~A(2,-4)~~~e~~M(-3,3)$

$\overline{AM}= \sqrt{(Xm-Xa) ^{2}+(Ym-Ya) ^{2}}$

Substituindo os pontos na formula.

$\overline{AM}= \sqrt{(-3-2) ^{2}+(3+4) ^{2}}$

$\overline{AM}= \sqrt{(-5) ^{2}+(7) ^{2}}$

$\overline{AM}= \sqrt{25+49}$

$\overline{AM}= \sqrt{74}$

Coordenadas do baricentro.

$M\overline{AM}=(-3,3)$

$M\overline{BA}=(0, -\frac{3}{2})$

$M\overline{CA}=(-1,- \frac{1}{2} )$

como já temos as coordenadas dos três lados do triâgulo,vamos substituir na formula do baricentro que é essa aqui.

$G= (\frac{X_{1}+X_{2}+X _{3} }{3}, \frac{Y_{1}+Y_{2}+Y _{3} }{3} )$

Substituindo na formula os pontos médio acima encontramos o baricentro.

$G= (\frac{-3+0-1 }{3}, \frac{ 3-\frac{3}{2}- \frac{1}{2} }{3})$

Vamos fazer o MMC (2)=2

$G= (\frac{-3+0-1 }{3}, \frac{ \frac{6-4}{2} }{3} )$

$G= (\frac{-3+0-1 }{3}, \frac{ \frac{2}{2} }{3} )$

$G= (\frac{-4 }{3}, \frac{ 1 }{3} )$

Boa noite!
Bons noites!