Question

Os pontos A(-1, 2, 0), B(k, 2, 1) e C(1, 2, -3) são vértices de um triângulo retângulo em A se k:

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre álgebra linear.

Sejam os pontos $A(-1,~2,~0),~B(k,~2,~1)$ e $C(1,~2,\,-3)$ vértices de um triângulo. Devemos determinar o valor de $k$ de modo que este triângulo seja retângulo em $A$.

Primeiro, determinamos os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$, sabendo que: $\overrightarrow{AB}=B-A$ e $\overrightarrow{AC}=C-A$.

$\overrightarrow{AB}=(k,~2,~1)-(-1,~2,~0)\\\\\\ \overrightarrow{AC}=(1,~2,\,-3)-(-1,~2,~0)$

Lembre-se que a soma de dois vetores é igual a soma de seus componentes: $\overrightarrow{u}=(u_1,~u_2),~\overrightarrow{v}=(v_1,~v_2)\Rightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_1+v_1,~u_2+v_2)$. Assim, teremos:

$\overrightarrow{AB}=(k+1,~0,~1)\\\\\\ \overrightarrow{AC}=(2,~0,\,-3)$

Então, para que este triângulo seja retângulo em $A$, os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ devem ser perpendiculares e, portanto, seu produto escalar deve ser igual a zero.

$\left<\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right>=0$

O produto escalar de dois vetores é calculado como a soma dos produtos de suas respectivas componentes: $\left<\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right>=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2$. Assim, teremos:

$(k+1,~0,~1)\cdot(2,~0,\,-3)=0\\\\\\ (k+1)\cdot 2+0\cdot0+1\cdot(-3)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2k+2-3=0$

Some os termos semelhantes

$2k-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da igualdade

$2k=1$

Divida ambos os lados da equação por um fator $2$

$k=\dfrac{1}{2}~~\checkmark$

Este deve ser o valor de $k$ para que o triângulo cujos vértices são os pontos $A,~B$ e $C$ seja retângulo em $A$.