Question

Os pontos A (0,0) B (0, -8) C (x,0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.

Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20.

2. Determine a área de um triângulo ds vértices A (2,3) B (4,5) C (-2,4)

3. Determine a área de um triângulo ds vértices A (4,0) B (1,0) C (2,6)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, SraAzevedo, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que a área de um triângulo poderá ser encontrada por meio de uma matriz cujos elementos são as coordenadas de cada vértice, dividindo-se depois por "2" o MÓDULO do determinante dessa matriz.

ii) Tendo, portanto o que se disse acima como parâmetro, então vamos encontrar o valor de "x" na primeira questão proposta, que é esta:

ii.1) Os pontos A(0; 0), B(0; -8) e C(x; 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de "x".

Vamos formar a matriz com as coordenadas de cada vértice, igualá-la a 20, e já deixá-la na forma de desenvolver pela regra de Sarrus:

.........|0......0....1|0....0|

(1/2)*|0....-8....1|0....-8| = 20 ----- desenvolvendo, temos:

.........|x......0....1|x......0|

(1/2)*|0*(-8)*1 + 0*1*x + 1*0*0 - [x*(-8)*1 + 0*1*0 + 1*0*0]| = 20

(1/2)*|0 + 0 + 0 - [-8x + 0 + 0]| = 20

(1/2)*|0 - [-8x]| = 20

(1/2)*|0 + 8x| = 20 ----- ou apenas:

(1/2)*|8x| = 20 ------ como |8x| = 8x, ficaremos com:

(1/2)*8x = 20 ----- como "(1/2)*8x = 8x/2", ficaremos com:

8x/2 = 20 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

8x = 2*20

8x = 40 ---- isolando "x", teremos:

x = 40/8

x = 5 <--- Esta é a resposta para a primeira questão. Ou seja, "x" deverá ser igual a "5" para que o triângulo desta questão tenha área igual a 20.

ii.2) Determine a área do triângulo cujos vértices são: A(2; 3), B(4; 5) e C(-2; 4). Assim, aplicando o que já sabemos para encontrar a área, teremos:

.........|2.....3....1|2.....3|

(1/2)*|4.....5....1|4.....5| ------ desenvolvendo, teremos:

.........|-2...4.....1|-2....4|

det = (1/2)*|2*5*1 + 3*1*(-2) + 1*4*4 - [(-2)*5*1 + 4*1*2 + 1*4*3]|

det = (1/2)*|10 - 6 + 16 - [-10 + 8 + 12]|

det = (1/2)*|20 - [10]| --- retirando-se os colchetes, teremos:

det = (1/2)*|20 - 10|

det = (1/2)*|10| ----- como |10| = 10, teremos:

det = (1/2)*10 ----- ou, o que é a mesma coisa:

det = 1*10/2 ---- ou apenas:

det = 10/2

det = 5 <--- Esta é a resposta para a 2ª questão. Ou seja, a área do triângulo da 2ª questão é igual a 5 (note que ao tomarmos o módulo do determinante e dividirmos por "2" temos a área pedida).

ii.3) Determine a área de um triângulo de vértices: A(4; 0), B(1; 0) e C(2; 6). Assim, aplicando o que já sabemos para encontrar a área de um triângulo, teremos:

.........|4.....0......1|4.....0|

(1/2)*|1......0......1|1......0| ----- desenvolvendo, teremos:

.........|2.....6......1|2.....6|

det = (1/2)*|4*0*1 + 0*1*2 + 1*1*6 - [2*0*1 + 6*1*4 + 1*1*0]|

det = (1/2)*|0 + 0 + 6 - [0 + 24 + 0]|

det = (1/2)*|6 - [24]| ---- retirando-se os colchetes, temos:

det = (1/2)*|6 - 24|

det = (1/2)*|-18| ----- como |-18| = 18, teremos:

det = (1/2)*18 ----- ou, o que é a mesma coisa:

det = 1*18/2 -- ou apenas:

det = 18/2

det = 9 <---- Esta é a resposta para a 3ª questão. Ou seja, a área do triângulo da 3ª questão  é igual a "9" (note que ao tomarmos o módulo do determinante e dividirmos por "2" temos a área pedida).

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

~ Questão 1 ~

$s \: = \frac{1}{2} \times |d|$
$20 \: = \frac{1}{2} \times |d|$
$20 \times 2 = |d|$
$d = 40$

Agora vamos utilizar a matriz:
__ __
| 0 .. 0 ... 1 | 0 .. 0
| 0 .. -8 .. 1 | 0 . -8
| x .. 0 ... 1 | x ... 0
|_ _|

0 + 0 + 0 + 0 - 0 - 0 + 8x = 40
8x = 40
x = 40/8
x = 5

o valor de X é 5

~ Questão 2 ~



| 2 .. 3 ... 1 | 2.... 3
| 4 .. 5 ... 1 | 4 ... 5
| -2 . 4 ... 1 | -2 . 4


10 -6 + 16 -12 - 8 + 10
36 - 26
10


$s \: = \frac{1}{2} \times |d|$
$s \times = 1/2 . 10$
$s = 5$

~ Questão 3 ~



| 4 . 0 ... 1 | 4.. 0
| 1 .. 0 ... 1 | 1 .. 0
| 2 . 6 ... 1 | 2 . 6

0 + 0 + 6 -0 - 24 - 10
6 - 24
-18




$s \: = \frac{1}{2} \times |d|$
$s \times = 1/2 . 18$
$s = 9$