Question

Os números x, x+9 e 16x formam, nesta ordem, uma PG de termos positivos. Calcule x.

Answer 1

Resposta:

$\sf a_1 = x \\a_2 = x + 9 \\a_3 = 16 x$

Em uma P.G termo central eleva ao quadrado e o extremos multiplica.

$\sf x . 16x \; = \; (x +9)^{2} = \\16x^{2} = x^{2} +18x + 81\\16x^{2} - x^{2} - 18x - 81 = 0 \\15x^{2} - 18x - 81 = 0 \div 3\\5x^{2} - 6x - 27 = 0$

a = 5

b = - 6

c = - 27

$\sf x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{b^{2} -\, 4ac } }{2a} = \dfrac{-\,(- 6)\pm \sqrt{(- 6)^{2} -\, 4\times 5 \times (-27) } }{2\times 5}$

$\sf x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36+ 540} }{10} = \dfrac{6 \pm \sqrt{ 576} }{10} = \dfrac{6 \pm 24 }{10}$

$\sf x_1 = \dfrac{6 +24}{10} = \dfrac{30}{10} = 3 \\\\x_2 = \dfrac{6 -24}{10} = - \dfrac{18}{10} = - \dfrac{ 6}{5}$

A segunda x_2 não serve porque é negativa.

O valor de x = 3.

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Numa PG, cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica  dos termos vizinhos deste. Ou seja:

• Numa PG (a, b, c), b² = a.c

• Numa PG (3, 6, 12, 24, 48, 96), 6² = 3.12 <=> 36 = 36

Sabendo disto, vamos calcular:

PG (x, x+9 e 16x)

(x+9)² = x.16x

x² + 18x + 81 = 16x²

x² + 18x + 81 - 16x² = 0

-15x² + 18x + 81 = 0

Caímos numa equação do segundo grau, resolvendo, temos:

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 18² - 4 . (-15). (81)

Δ = 324 + 4860

Δ = 5184

$\frac{-18+-\sqrt{5184} }{2.(-15)}=0\\\\\frac{-18+-72}{-30}=0$

raiz 1:

$x1 = \frac{-18+72}{-30}\\\\x1 = \frac{54}{-30} (\div 6)\\\\x1 = \frac{-9}{5}$

raiz 2:

$x2 = \frac{-18-72}{-30}\\\\x2 = \frac{-90}{-30}\\\\x2 = 3$

Como trata-se de um PG com termos positivos (vide enunciado), o x=3.

Bons estudos e até a próxima!

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