Question

Os números x e y da matriz M = ( -3/X Y/2) serão escolhidos ao acaso, sorteando-se, sucessivamente e com reposição, dois elementos do conjunto {–3, –2, –1, 0, 1, 2}.
a) Qual a probabilidade de que a matriz M obtida seja simétrica, ou seja, M = M t ?
b) Qual a probabilidade de que o determinante de M seja não nulo?

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre matrizes e probabilidade.

Os números $x$ e $y$ da matriz $M=\left(\begin{matrix}-3&y\\x&2\\\end{matrix}\right)$ serão escolhidos ao acaso, sorteando-se, sucessivamente e com reposição, dois elementos do conjunto $\{-3,\,-2,\,-1,~0,~1,~2\}$. Com isso, pergunta-se:

a) A probabilidade de que a matriz $M$ obtida seja simétrica, ou seja, $M=M^t$ ?

Primeiro, devemos encontrar a matriz transposta de $M$. Lembre-se que a matriz transposta de uma matriz de ordem $m\times n$ é uma matriz de ordem $n\times m$ em que os elementos das linhas da matriz original se tornam elementos das colunas na matriz transposta, como no exemplo: $\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)^t=\left(\begin{matrix}a&c\\b&d\\\end{matrix}\right)$.

Assim, teremos:

$M^t=\left(\begin{matrix}-3&x\\y&2\\\end{matrix}\right)$

Então, igualamos as matrizes

$\left(\begin{matrix}-3&y\\x&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&x\\y&2\\\end{matrix}\right)$

Para que duas matrizes sejam iguais, suas ordens devem ser iguais e, além disso, seus elementos respectivos também devem ser iguais. Com isso, facilmente observa-se que a matriz $M$ será simétrica se:

$x=y$

Logo, sabendo que os elementos do conjunto serão sorteados sucessivamente e com reposição, devemos determinar quantos pares ordenados $(x,~y)$ existem para $x=y$.

Antes, determinamos o total de pares ordenados possíveis ao sortear os elementos deste conjunto. Visto que temos $6$ elementos distintos, facilmente teremos:

$n(S)=6\cdot6=36~pares$

Observando os elementos do conjunto, os únicos pares ordenados em que $x=y$ são: $(-3,\,-3),~(-2,\,-2),~(-1,\,-1),~(0,~0),~(1,~1)$ e $(2,~2)$.

Sabendo que a probabilidade do acontecimento de um evento é calculada como a razão entre a quantidade de sub-eventos favoráveis e o total de eventos possíveis, dada pela fórmula $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$, teremos:

$P(\sf{M~ser~sim\'etrica})=\dfrac{6}{36}$

Simplifique a fração

$P(\sf{M~ser~sim\'etrica})=\dfrac{1}{6}~\checkmark$

b) A probabilidade de que o determinante de $M$ seja não nulo?

Lembre-se que o determinante de uma matriz de ordem $2$ é calculada como a diferença do produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária, isto é: $\det\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)=a\cdot d-b\cdot c$.

Assim, fazemos:

$\det(M)\neq0\\\\\\ \det\left(\begin{matrix}-3&y\\x&2\\\end{matrix}\right)\neq0$

Calculamos o determinante

$(-3)\cdot2-x\cdot y\neq0\\\\\\\ 6-xy\neq0$

Some $xy$ em ambos os lados da desigualdade

$xy\neq6$

Logo, devemos determinar quantos pares ordenados $(x,~y)$ são formados a partir do sorteio dos elementos do conjunto de modo que o produto $xy\neq6$.

A forma mais simples de determinar este número é determinar o resultado oposto, isto é, quantos desses pares são formados de modo que o produto seja igual a $6$, utilizando a propriedade de probabilidade complementar: $n(E_1)+n(E_2)=n(S)\Rightarrow n(E_1)=n(S)-n(E_2)$.

Observa-se que apenas os pares $(-3,\,-2)$ e $(-2,\,-3)$ satisfazem esta condição. Logo, determina-se que $n(\sf{xy~\'e~igual~a~6)=2$.

Com isso, facilmente encontra-se que $n(\sf{xy~\'e~diferente~de~6})=36-2=34$.

Assim, teremos:

$P(\sf{\det(M)~\'e~n\~ao~nulo})=\dfrac{n(\sf{xy~\'e~diferente~de~6})}{n(S)}=\dfrac{34}{36}$

Simplifique a fração

$P(\sf{\det(M)~\'e~n\~ao~nulo})=\dfrac{17}{18}~~\checkmark$

Estas são as respostas para estas questões.