Question

Os números reais x são soluções da inequações $\frac{1}{25} ^{1-x} \ \textless \ \frac{1}{5}$ se, somente se:

a) x > - $\frac{1}{2} }$
b) x >$\frac{1}{2}$
c) - $\frac{3}{2} \ \textless \ x \ \textless \ \frac{1}{2}$
d) x < $\frac{1}{2}$
e) x < -$\frac{1}{2}$

Answer 1

Boa noite Issac

(1/25)^(1 - x) < 1/5 

(1/5)^(2 - 2x) < 1/5 

2 - 2x < 1
-2x < -1

2x > 1

x > 1/2 (B) 

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se os números reais "x" que satisfazem a seguinte inequação:

(1/25)¹⁻ˣ < 1/5 ---- veja que (1/25) = (1/5)² . Assim, ficaremos:

[(1/5)²]¹⁻ˣ < 1/5 ----- desenvolvendo, teremos:
(1/5)²*⁽¹⁻ˣ⁾ < 1/5 ---- efetuando o produto indicado no expoente, temos:
(1/5)²⁻²ˣ < 1/5 --- note que o expoente de "1/5" do 2º membro é "1". É como se fosse assim:

(1/5)²⁻²ˣ < (1/5)¹

Agora note: como as bases são iguais, então já poderemos comparar os expoentes. Mas sendo as bases menores que "1" (ou seja sendo as bases contidas no intervalo entre "0" e "1", então, na comparação dos expoentes, o faremos com o sentido contrário da desigualdade. Se temos "<" ela mudará para ">" e vice-versa. No caso, como o sentido é de "<", então, na comparação dos expoentes, o faremos com o sentido de ">". Assim, ficaremos com:

2 - 2x > 1 ---- passando o "2" para o 2º membro, teremos:
- 2x > 1 - 2 ---- como "1-2 = -1", ficaremos com:
- 2x > - 1 ----- veja que poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

2x < 1
x < 1/2 ------- Pronto.Esta é a resposta. Opção "d".

Observação: note que ao multiplicarmos uma desigualdade por "-1" ela muda de sentido: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa. Foi o que ocorreu com a desigualdade acima, que tinha sentido de ">" e passou pra "<" quando multiplicamos ambos os membros por "-1".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.