Question

Dois espelhos planos, dispostos em determinado ângulo, formam um número x de imagens de um objeto. Se reduzirmos 10º desse ângulo, acrescentamos 6 imagens do objeto ao sistema. Determine quantos graus tem o ângulo inicial.

Answer 1

Lembrando que:

$n = \frac{360\degree }{\alpha}-1$

n ⇒ número de imagens

α ⇒ ângulo entre espelhos

Sabemos que:

n₀ = x

ângulo inicial = α

n = x +6

ângulo final = α - 10º

Assim:

$x = \frac{360}{\alpha}-1\\\\ x + 6 = \frac{360}{\alpha-10}-1\\\\\\\frac{360}{\alpha}-1+6=\frac{360}{\alpha - 10}-1\\\frac{360}{\alpha} +6 = \frac{360}{\alpha - 10}\\ \frac{360(\alpha-10)\alpha}{\alpha}+6(\alpha-10)\alpha=\frac{360(\alpha-10)\alpha}{\alpha-10}\\360\alpha - 3600 + 6\alpha^2 - 60\alpha = 360\alpha\\6\alpha^2 - 60\alpha - 3600 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau:

$\Delta = (-60)^2 - 4(6)(-3600)\\\Delta = 3600 + 86400\\ \Delta = 90000\\\\ \alpha = \frac{-(-60)\pm \sqrt{90000}}{2 \cdot 6}=\frac{60\pm 300}{12}\\\\\alpha' = \frac{60+300}{12} = \frac{360}{12} = 30\\\\\alpha" = \frac{60-300}{12} = \frac{-240}{12} = -20$

O ângulo inicial é de 30º.