Question

Os numeros que exprimim o lado , a diagonal e área de um quadrado estao em P.A nessa ordem . Determine a medida do lado do quadrado

Answer 1

Boa tarde  

PA

a1 = a
a2 = √2a
a3 = a²

propriedade de uma PA

2a2 = a1 + a3 

2√2a = a + a² 
2√2 = a + 1

lado a = 2√2 - 1

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos concluímos que o valor do lado, do quadrado é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Lado = 2\sqrt{2} - 1\:u\cdot c \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

               $\Large\begin{cases} lado = l\\diagonal = l\sqrt{2}\\\acute{A}rea = l^{2}\end{cases}$

Deste modo temos a seguinte sequência:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} P.A.(l,\,l\sqrt{2},\,l^{2})\end{gathered}$

Para que esta sequência seja uma progressão aritmética é necessário que ambas razões sem iguais. Além disso sabemos que a razão de uma P.A. é a diferença entre qualquer termo - exceto o primeiro - e seu antecessor imediato, ou seja:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} = l\sqrt{2} - l\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l\sqrt{2} - l\sqrt{2} + l = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - 2\sqrt{2}l + l = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} l^{2} - l(2\sqrt{2} - 1) = 0\end{gathered}$

Neste ponto, chegamos a uma equação do segundo grau. Resolvendo esta equação pela técnica de fatoração, temos:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} l\cdot\left[l - (2\sqrt{2} - 1)\right] = 0\end{gathered}$

Neste ponto concluímos que as raízes desta equação são:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} l' = 0\end{gathered}$

                 e

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' - (2\sqrt{2} - 1) = 0\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' - 2\sqrt{2} + 1 = 0\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} l'' = 2\sqrt{2} - 1\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{0,\,2\sqrt{2} - 1\}\end{gathered} }$

✅ Como o quadrado é uma figura real, a a medida do seu lado é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} l = 2\sqrt{2} - 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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