Question

Os números que exprimem o lado,a altura e a área de um triângulo equilátero estão em P.A nessa ordem.Determine a altura desse triâgulo.

Answer 1

Lado - l
Altura - h
Área - A

Temos que em um triângulo equilátero a altura e área são respectivamente: $h= \frac{l \sqrt{3} }{2}, A= \frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4}$
P.A (l,h,A) = (h-r, h, h+r) onde r é a razão, então:
$\left \{ {{l= \frac{l \sqrt{3} }{2}-r} \atop { \frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4}=\frac{l \sqrt{3} }{2}+ r }} \right.$
Isolando r na primeira e substituindo na segunda equação temos:
$\frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4} - l \sqrt{3}+l=0 \\l(\frac{ l \sqrt{3} }{4}- \sqrt{3} +1)=0 \\ l=0\ \ ou \ \frac{ l \sqrt{3} }{4}- \sqrt{3} +1=0 \\ resolvendo\ temos\ l = \frac{4 \sqrt{3}-4 }{ \sqrt{3} }$
 l não pode ser 0, Então temos: 
$l = \frac{4 \sqrt{3}-4 }{ \sqrt{3} }$
Substituindo em h temos: 
$h= \frac{l \sqrt{3} }{2}$  
$h= \frac{ \frac{4 \sqrt{3}-4 }{ \sqrt{3} } \sqrt{3} }{2}$ 
$h=2 \sqrt{3} -2$