Question

Os números (naturais não nulos) aparecem dispostos em blocos de três linhas e três colunas, conforme indicado abaixo:

B1= 1 2 3. B2= 10 11 12. B3= 19 20 21
4 5 6. 13 14 15. 22 23 24
7 8 9. 16 17 18. 25 26 27

e assim, sucessivamente.

Qual é a soma de todos os elementos escritos nos 200 primeiros blocos?​

Answer 1

Resposta:

1620900

Explicação passo-a-passo:

$B_{1} = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]  = \left[\begin{array}{ccc}9*0 + 1&9*0 +2&9*0 +3\\9*0 +4&9*0 +5&9*0 +6\\9*0 +7&9*0 +8&9*0 +9\end{array}\right] \\\\B_{2}= \left[\begin{array}{ccc}10&11&12\\13&14&15\\16&17&18\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9*1 +1&9*1 +2&9*1 +3\\9*1 +4&9*1 +5&9*1 +6\\9*1 +7&9*1 +8&9*1 +9\end{array}\right]$

Seguindo esse padrão podemos generalizar o blocos da seguinte forma:

$B_{k} =\left[\begin{array}{ccc}9(k-1)+1&9(k-1)+2&9(k-1)+3\\9(k-1)+4&9(k-1)+5&9(k-1)+6\\9(k-1)+7&9(k-1)+8&9(k-1)+9\end{array}\right]$

Com isso, digamos que Sk seja a soma dos elementos de um bloco Bk somando todos os elementos de um bloco temos:

Sk= 9*9(k-1) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 81k - 81  + 45

Sk = 81k - 36

Sk = 9(9k - 4), portanto:

S1 = 9 * 5

S2 = 9 * 14

S3 = 9 * 23

...

S200 = 9 * 1796

Assim, a soma total é:

ST = S1 + S2 + S3 + ... + S200 = 9*5 + 9*14 +9*23 + ... + 9*1796

ST = 9(5 + 14 + 23 + ... + 1796)

Nota-se que os números 5, 14, 23, ..., 1796 formam uma PA de 200 termos e razão 9, logo, para soma-los basta usar a fórmula de soma de uma PA:

$S = \frac{(a_{1} + a_{n}) * n}{2} \\S = \frac{(5+1796)*200}{2}\\S = 1801 * 100 = 180100$

Portanto ST = 9 * 180100

ST = 1620900