Question

Os números naturais a e b,com  a  >  b, são tais que a^2  -  b^2 = 7. o valor de a - b é:
a)0 b)1 c)3 d)4 e)7 

Answer 1

Pelos produtos notáveis sabemos que a² - b² = (a-b)(a+b). Substituindo na igualdade acima temos:

a² - b² = 7 => (a-b)(a+b) = 7

Temos um produto no primeiro membro da igualdade acima resultando num número primo, o 7. Isso quer dizer que um dos fatores do produto do primeiro membro é 1 e o outro é 7. Temos, agora, que determinar qual é qual, lembrando da condição que a>0 e b>0, pois ambos são naturais:

I- a-b = 1
$\left \{ {{a-b=1} \atop {a+b=7}} \right.$
Resolvendo esse sistema temos que a=4 e b=3, dois números naturais.

II- a-b=7
$\left \{ {{a-b=7} \atop {a+b=1}} \right.$
Resolvendo esse encontramos um valor negativo para b, portanto b não seria natural e não seria conveniente pra essa questão

Sendo assim o único caso possível é o caso I, portanto a-b = 1

R: b)