Os números naturais 48, 54 e n têm a seguinte propriedade: o produto de quaisquer dois desses números é um múltiplo do outro número. Qual é o menor valor possível para n ?
POR FAVOR ALGUEM ME AJUDAA
Soluções para a tarefa
Divisibilidade é um assunto "básico", porém difícil. Vamos lá.
"o produto de quaisquer dois desses números é um múltiplo do outro número."
O asterisco * significa multiplicação ok?!
Três condições devem ser satisfeitas.
1)
48*54 = n*K1 ,onde K1 é uma constante natural.
Dessa forma, K1 = (48*54)/n
Fatorando 48, obtemos: 2⁴*3¹
Fatorando 54, obtemos: 2¹*3³
Dessa forma:
K1 = (2⁴*3¹*2¹*3³)/(n)
2)
54*n = 48*K2 ,onde K2 é uma constante natural.
Dessa forma: K2 = (54*n)/48
K2 = (2¹*3³*n)/(2⁴*3¹)
Note que para o numerador ser divisível pelo denominador, n deve ser pelo menos 2³ para que K2 seja um número natural.
3)
48*n = 54*K3 ,onde K3 é uma constante natural.
Dessa forma: K3 = (48*n)/54
K3 = (2⁴*3¹*n)/(2¹*3³)
Note que para o numerador ser divisível pelo denominador, n deve ser pelo menos 3² para que K3 seja um número natural.
- Dessa forma, temos certeza que o número natural n deve ser constituído, pelo menos, pelo produto de 2³*3². Note que se substituirmos esse valor de n em "1)" K1 continuará sendo um número natural, pois o numerador continuará divisível pelo denominador. Se substituirmos n por esse valor também em "2)", K1 continuará sendo um número natural e se substituirmos esse valor em "3)" K3 também continuará sendo natural.
- Portanto, o menor valor de n será 2³*3² = 8*9 = 72
E sim, a questão é difícil, mas tente entender o raciocínio, vai te ajudar bastante. Espero ter ajudado.