Question

Os números inteiros positivos foram escritos em sequência, como indicado na figura. Observe que na primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha foi escrito o número 2 015?

Answer 1

Observe que no final de cada linha aparece um número que é um quadrado perfeito. Na primeira linha aparece $1^{2}=1$, na segunda aparece $2^{2}=4$, na terceira aparece $3^{2}=9$ e assim por diante. Portanto a linha que o número 2015 vai estar é a mesma que o menor número que é quadrado perfeito e é maior que 2015. Temos que $\sqrt{2015}$ é, aproximadamente, 44,888. Portanto o número mais próximo de 2015 que é quadrado perfeito é $45^{2}=2025$, indicando que o número 2015 está na 45ª linha.

Answer 2

Resposta:

Observe que o último número da linha 1 é 1, da linha 2 é 4 = 22, da linha 3 é 9 = 32 e assim por diante. Os números que finalizam uma linha são sempre quadrados perfeitos. Assim, como os quadrados mais próximos de 2 015 são 442 = 1 936 e 452 = 2 025, o número 2 015 foi escrito na linha 45.

Observação: A afirmação “A linha n contém 2n _ 1 termos e termina com o número n2” pode ser facilmente provada usando-se o Princípio de Indução Finita, pois ela é obviamente verdadeira para n = 1 e, supondo-a verdadeira para a linha n, a linha n + 1 terá 2n _ 1+ 2 = 2(n + 1) _ 1 termos, já que ela contém 2 termos a mais do que a anterior; além disso, o último termo da linha n + 1 é n2 + (2n _ 1) + 2 = (n + 1)2.

Explicação passo-a-passo: