Question

Os números de lados de dois polígonos convexos têm razão 2, juntos os ângulos internos dos dois totalizam 2.520, quais são esses polígonos?

Answer 1

Razão entre o lado do polígono 1 e o lado polígono 2:
$\dfrac{\ell_1}{\ell_2}=2$

A soma dos ângulos internos de um polígono é dado pela fórmula: î = 180°(l - 2). Em que 'l' é o número de lados do polígono.
Soma dos ângulos internos dos polígonos juntos:
$[180^\circ(\ell_1-2)]+[180^\circ(\ell_2-2)]=2520^\circ$
Simplificando:
$\ell_1+\ell_2=18$

Veja que agora temos um sistema de duas equações.
$\begin{matrix}(1)\\\\\\(2)\end{matrix}\begin{cases}\dfrac{\ell_1}{\ell_2}=2\\\\\ell_1+\ell_2=18\end{cases}$

Da primeira equação:
$\dfrac{\ell_1}{\ell_2}=2\longrightarrow\ell_1=2\ell_2$

Substituindo na segunda equação:
$\ell_1+\ell_2=18\\\\2\ell_2+\ell_2=18\\\\\therefore\ \ell_2=6$

Consequentemente, da primeira equação:
$\ell_1=2\ell_2\longrightarrow\ell_1=2(6)\\\\\therefore\ \ell_1=12$

O polígono 1, por ter 12 lados, é chamado de dodecágono, e o polígono 2, por ter 6 lados, é chamado de hexágono.