Question

Os números a1, a2, a3, a4, ... , an, são positivos e formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q.

a) Mostre que os números:log a1 , log a2 , log a3 , ... , log an formam em qualquer base, uma progressão aritmética de razão log q.

b) Mostre que, para qualquer base, o logaritmo do produto a1. a2. a3. a4. ... . an é igual a n [log a1 + (n-1)/2)log q].

Answer 1

a) Tome um termo qualquer da sequência, digamos $a_{k}$.
Sabemos que $a_{k}=a_1.q^{k-1}$

Aplicando log dos dois lados teremos:
$log(a_{k})=log(a_1.q^{k-1}) = log(a_1) + (k-1)logq$

Chamando $log(a_{k}) = b_{k}$ teremos:
$b_{k} = b_1 + (k-1)logq$
Que é a fórmula do k-ésimo termo da PA de razão $logq$.

b) Sabemos que $log(a_1.a_2...a_{n}) = loga_1 + loga_2 + ... + log a_{n}$
Usando a mesma notação do item anterior teremos:
$log(a_1.a_2..a_n) = b_1 + b_2 +...+b_n$ que é a soma de uma PA.
Dessa forma teremos:
$log(a_1.a_2...a_n) = \frac{(b_1+b_n).n}{2} = \frac{(2b_1+(n-1)logq)n}{2}$

Portanto, $log(a_1.a_2...a_n)=n.(loga_1 + \frac{(n-1)logq}{2})$