Question

Os lados de um triangulo retângulo estão em progressão geométrica. Qual é o cosseno do maior ângulo agudo? E o seno desse ângulo?

Answer 1

Sejam $a,\,b,\,c$ as medidas dos lados deste triângulo retângulo, com

$c<b<a$

onde

$\bullet\;\;a$ é a hipotenusa;

$\bullet\;\;b$ e $c$ são os catetos.

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Como os lados estão em progressão geométrica, a sequência

$(c,\,b,\,a)$

é uma P.G. crescente, com razão $q>1.$

Portanto,

$b=c\cdot q\\\\ a=c\cdot q^2$


Pelo Teorema de Pitágoras,

$a^2=b^2+c^2\\\\ (c\cdot q^2)^2=(c\cdot q)^2+c^2\\\\ c^2\cdot q^4=c^2\cdot q^2+c^2\\\\ c^2\cdot q^4=c^2(q^2+1)\\\\ q^4=q^2+1\\\\ q^4-q^2-1=0\\\\ (q^2)^2-q^2-1=0~~~~\text{com }q>1$


Essa é uma equação biquadrada em $q.$ Fazendo a seguinte mudança de variável,

$q^2=p~~~~~(q>1~~\Rightarrow~~p>1)$

a equação fica

$p^2-p-1=0~~~\Rightarrow~~\left\{ \!\begin{array}{l}A=1\\B=-1\\C=-1 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=B^2-4AC\\\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)\\\\ \Delta=1+4\\\\ \Delta=5\\\\\\ p=\dfrac{-B\pm \sqrt{\Delta}}{2A}$

$p=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{5}}{2\cdot 1}\\\\\\ p=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} p=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}&~\text{ ou }~&p=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<1~~(\text{n\~ao serve}) \end{array}\\\\\\ p=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\\\\ q^2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} \end{array}}$

(razão da P.G.)

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Seja $\theta$ o maior ângulo agudo do triângulo retângulo. Dessa forma, o cateto oposto ao ângulo $\theta$ é o cateto maior, que é $b.$


Então,

$\bullet\;\;\mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{b}{a}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{c\cdot q}{c\cdot q^2}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{1}{q}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{sen\,}\theta=\sqrt{\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}} \end{array}}$


$\bullet\;\;\cos\theta=\dfrac{c}{a}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{c}{c\cdot q^2}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{1}{q^2}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{1}{\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \right )^{\!\!2}}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{1}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\cos \theta=\dfrac{2}{1+\sqrt{5}} \end{array}}$