Question

Os lados de um triangulo medem 2√3,√(6 ) e 3 + √3. Determine o ângulo oposto ao lado que mede √(6 )

Answer 1

Olá!!

Primariamente devemos usar a Lei dos Cossenos, conhecida por:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc . cos \alpha$

Onde α é o ângulo que está oposto ao lado a.

Agora, vamos isolar cosα, então teremos:

$2bc.cos \alpha = b^{2} + c^{2} - a^{2} \\ cos \alpha = \frac{( b^{2} + c^{2} - a^{2} )}{2bc}$

Como dito no enunciado, os valores são a = √6 ; b = 2√3 e c = (3+√3), então teremos:

b² + c² - a² =
(2√3)² + (3+√3)² - (√6)² =
12 + 9 + 6√3 + 3 - 6 =
18 + 6√3 =
6(3+√3)

Fazendo a substituição, teremos:

2bc = 2. 2√3(3+√3) =
4√3(3+√3) =
12√3 + 12 =
12(√3+1)

Agora em cosseno de α, teremos:


$cos \alpha = \frac{ 6(3+ \sqrt{3} )}{12( \sqrt{3} +1)} \\ cos \alpha = \frac{(3+ \sqrt{3} )}{2( \sqrt{3} +1) }$

Agora temos que racionalizar o denominador:

$cos \alpha = \frac{(3+ \sqrt{3} )( \sqrt{3} -1)}{ 2( \sqrt{3} +1)( \sqrt{3} -1)} \\ cos \alpha = \frac{(3 \sqrt{3} -3 + 3 - \sqrt{3} )}{2(3-1)} \\ cos \alpha = \frac{2 \sqrt{3} }{4} \\ cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \alpha = arccos ( \frac{ \sqrt{3} }{2} )$

α = 30º


Espero ter ajudado! Bons Estudos!