Question

Os lados de um triângulo medem 12 cm, 18 cm e 20,4 cm. O maior lado de um triangulo semelhante ao primeiro mede 15,3 cm. Determine:a) O perímetro do segundo triangulo.(Essa aí eu consegui, o perímetro é 37,8 cm).b) A área do segundo triangulo, sabendo que a área do primeiro é 23,04 √11 cm².Como resolver essa alternativa?

Answer 1

A letra B podemos fazer da seguinte forma: 

Uma fórmula de área de um triângulo é: 

$A = \frac{a*b*sen( \alpha )}{2}$

Como os triângulos são semelhantes, então temos que os ângulos internos são congruentes. Dessa forma, usando essa fórmula no triangulo 1, ficamos com:

$A_{1} = \frac{a*b*sen( \alpha )}{2} \\ \\ 23,04 \sqrt{11} = \frac{20,4*12*sen( \alpha )}{2}$

Isolando o $sen( \alpha )$, ficamos com:

$sen \alpha = 0,188 \sqrt{11}$

Mas como os dois triângulos são congruentes, então o $sen( \alpha )$ de 1 é igual ao $sen( \alpha )$ de 2. Logo, aplicando agora a fórmula para o triângulo 2, chegamos em:

$A_{2} = \frac{c*d*sen( \alpha )}{2} \\ \\ A_{2} = \frac{15,3*9*0,188 \sqrt{11}}{2} \\ \\ A_{2} = 12,9 \sqrt{11} cm^{2}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Joãolazaro, que a resolução é simples.
Embora você já tenha feito a questão relativa ao perímetro do segundo triângulo (triângulo menor que é semelhante ao primeiro), mas vamos também resolver esta questão, já que os usuários da plataforma Brainly, que pesquisam em busca de respostas matemáticas, querem as respostas completas.
Então vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

a) Cálculo do perímetro do segundo triângulo (triângulo menor, que é semelhante ao primeiro).
Veja que o primeiro triângulo (triângulo maior) tem os seus lados medindo:
lado a = 12 cm
lado b = 18 cm
lado c = 20,4 cm.
Sabe-se que o triângulo menor (que é semelhante ao primeiro) tem o seu lado maior medindo 15,3 cm.
Então vamos saber qual é a razão (r) entre o lado maior (20,4 cm) do triângulo maior e o lado maior do triângulo menor (15,3 cm). Assim, teremos:

r = 20,4/15,3
r = 1,3333........ Veja que esta dízima periódica tem como fração geratriz a fração "4/3".
Então, os lados do triângulo maior equivalem a 4/3 dos lados do triângulo menor. Assim, chamando os lados do triângulo menor de a'; b' e c', teremos:

c' = 15,3 cm (já havia sido dado no enunciado da questão). Então vamos calcular apenas os lados a' e b'. Assim, teremos:

a = (4/3)*a' --- ou apenas:
a = 4a'/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*a = 4a'
3a = 4a' ---- vamos apenas inverter, ficando:
4a' = 3a
a' = 3a/4 ----- como o lado a mede 12cm, então teremos:
a' = 3*12/4
a' = 36/4
a' = 9 cm <--- Esta é a medida do lado a' do triângulo menor.

 Agora vamos para o lado b do triângulo menor

b = (4/3)*b' --- ou apenas:
b = 4b'/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*b = 4b'
3b = 4b' ---- invertendo, temos:
4b' = 3b ---- isolando b', teremos:
b' = 3b/4 -------como o lado b mede 18 cm, então substituindo, teremos:
b' = 3*18/4
b' = 54/4
c' = 13,5 cm <--- Esta é a medida do lado b' do triângulo menor.

Assim, o perímetro P' do triângulo menor será este:

P' = a' + b' + c' ---- substituindo-se cada lado por suas respectivas medidas, teremos:

P' = 9 cm cm + 13,5 cm + 15,3 cm ---- veja que esta soma dá 37,8. Logo:
P' = 37,8 cm <--- Esta é a resposta para a questão do item "a". Ou seja, esta é a medida pedida do perímetro do triângulo menor.


b) Qual é a área do segundo triângulo (triângulo menor e que é semelhante ao primeiro)?
Veja: como se trata de área e a área sempre é dada ao quadrado, então basta que chamemos de A a área do triângulo maior e igualá-la a (4/3)² do triângulo menor (e chamaremos a área do triângulo menor de A'). Assim, teremos:

A = (4/3)²*A' ------ como (4/3) = 16/9, teremos:
A = (16/9)*A' ---- ou apenas:
A = 16A'/9 ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
9*A = 16A' ----- ou apenas:
9A = 16A' ----- vamos apenas inverter, ficando:
16A' = 9A ----- substituindo-se a área A pelo seu valor já dado no enunciado da questão e que é [23,04√(11)], teremos:

16A' = 9*23,04√(11) ---- veja que 9*23,04 = 207,36. Assim:
16A' = 207,36√(11) ----- isolando A' , teremos:
A' = 207,36√(11) / 16 ---- note que 207,36/16 = 12,96 exatamente. Logo:
A' = 12,96√(11) cm² <--- Esta é resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta é a área pedida do triângulo menor.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.