Question

Os gráficos são das funções exponenciais de R em R, definidas por
$f(x) = a \: \times { {b}^{x} }$
e
$g(x) = 1 \: + \: c \: \times \: {d}^{x}$
, em que a e c são números reais e b e d são números reais positivos diferentes de 1.

a) Determine os valores de a e b.

b) Determine os valores de c e d.​

Answer 1

Resposta:

Solução:

a)

$\displaystyle \sf Dados: \begin{cases} \sf f(0) = - 3 \\ \sf f(1) = -1, 5 \end{cases}$

Para x = 0  e f(0)  = - 3, temos:

$\displaystyle \sf f(x) = a \cdot b^x$

$\displaystyle \sf f(0) = a \cdot b^0$

$\displaystyle \sf - 3 = a \cdot 1$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = - 3 }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

Para x = 1  e f(1)  = - 3, temos:

$\displaystyle \sf f(x) = a \cdot b^x$

$\displaystyle \sf f(1) = -3 \cdot b^1$

$\displaystyle \sf - 1,5 = - 3 \cdot b$

$\displaystyle \sf b = \dfrac{-1,5}{- 3}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf b = \dfrac{1}{2} }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

b)

$\displaystyle \sf Dados: \begin{cases} \sf g(0) = 4 \\ \sf g \left[\sf \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) \right] = -1, 5 \end{cases}$

Para x = 0  e g(0)  = 4, temos:

$\displaystyle \sf g(x) = 1 +c \cdot d^x$

$\displaystyle \sf g(0) = 1 +c \cdot d^0$

$\displaystyle \sf 4- 1 = c \cdot 1$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf c = 3 }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

Para $\textstyle \sf x = \log_2 (\frac{2}{3})$  e $\textstyle \sf g( \log_2 \frac{2}{3} ) = 3$  = 4, temos:

$\displaystyle \sf g(x) = 1 +c \cdot d^x$

$\displaystyle \sf g \left( \log_2 \frac{2}{3} \right ) = 1 +c \cdot d^{\log_2 \frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf 3 = 1 + 3\cdot d^{\log_2 \frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf 3 - 1 = 3\cdot d^{\log_2 \frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf 2 = 3\cdot d^{\log_2 \frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf 3\cdot d^{\log_2 \frac{2}{3} } = 2$

$\displaystyle \sf d^{\log_2 \frac{2}{3} } = \dfrac{2}{3}$

$\displaystyle \sf \log_2 \frac{2}{3} \cdot d = \dfrac{2}{3}$

Aplicando logaritmo na base 2, nos dois lados temos:

$\displaystyle \sf \log_2 \frac{2}{3} \cdot \log_2 d = \log_2 \frac{2}{3}$

$\displaystyle \sf \log_2 d = \dfrac{\log_2 \frac{2}{3} }{\log_2 \frac{2}{3} }$

$\displaystyle \sf \log_2 d = 1$

$\displaystyle \sf d = 2^1$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = 2 }}} \quad \gets \text{\sf \textbf{Resposta } }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo: