Question

Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com p + q = 13.

Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?
(A)16 , (B)32, (C)36, (D)42, (E)46

Answer 1

Resposta:

(C) 36

Explicação passo a passo:

Como o Problema já nos diz que os conjuntos P e Q têm p e q elementos e que a soma dos elementos (e não dos valores) de p e q é 13, podemos reservar essa informação:

p + q = 13

Na sequência, devemos trabalhar a informação de que a razão (divisão) entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32:

Atente para o seeguinte: na área matemática chamada de “Teoria dos Conjuntos”, há uma afirmação de que o número de subconjuntos de um determinado conjunto é dado por 2ⁿ, onde n é a quantidade de elementos do conjunto em questão.

Então, já que o Problema afirma que a razão (divisão) entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, devemos “traduzir” isso para a linguagem matemática:

$\frac{2^p}{2^q} =32$

Ora, sabemos que 32 é igual a 2⁵ , logo:

$\frac{2^p}{2^q} = 2^{5}$

Observe que temos agora três expoentes na mesma base (2); fazendo uso das propriedades da Potenciação, podemos utilizar aquela que afirma que, numa divisão de mesma base, subtraem-se os expoentes:

$2^{p-q} =2^5$

Nesse momento, ficamos com uma equação exponencial (em que há incógnita no expoente); assim, podemos “eliminar” (“cortar”) a base 2:

$2^{p-q} =2^5$       >       p – q = 5

Com a primeira informação fornecida pela questão ( p + q = 13 ), podemos montar um Sistema de Equações:

$\left \{ {{p + q = 13} \atop{p-q = 5}} \right.$

Pelo método da Soma, temos:

p + q = 13

p – q  = 5

2p      = 18

p = 18

       2

p = 9

Agora podemos substituir o valor de p (9) em qualquer uma das equações acima, para encontrar o valor de q:

p + q = 13  

9 + q = 13  

q = 13 – 9  

q = 4

Encontrados os valores de p e de q, podemos então calcular o Produto entre eles (p.q):

9 . 4 = 36