Question

Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx + c são reais. Sabendo que – 1 e 1 + αi, com α > 0, são raízes da equação p(x) = 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, determine

a) o valor de α;
b) o quociente de p(x) por (x + 1)

i é a unidade ima gi nária, i2 = – 1

Answer 1

1) O conjunto verdade da equação p(x) = 0 é {-1, 1 + αi, 1 - αi} e, logo, 

p(x) = 1 . (x+1).(x-1-αi).(x-1+αi) ⇔
⇔ p(x) = (x+1).[(x-1)²+ α²]


2) p(x)   x-1 ⇒ p(1) = 8
      8    Q(x)


3) p(1) = (1+1).[(1-1)² + α²] = 8 ⇔
⇔ 2 . α² = 8 ⇔ α² = 4 ⇔ α = 2, porque α > 0


4) p(x) = (x+1).[(x-1)² + 4] ⇔
⇔ p(x) = (x+1).(x² - 2x + 5) ⇒
⇒ p(x)        x + 1
     0       x² - 2x +5

As respostas são, pois:
a) α = 2
b) x² - 2x + 5