Question

Os catetos sao x e 3-x, qual o valor de x para qual a area do triangulo tem valor maximo?

Answer 1

Trata-se de um triângulo retângulo de altura x e base 3 - x.
A área de um triângulo qualquer é dada pela fórmula:
Área = base x altura / 2

Área = (3 - x).x / 2 = (3x - x²) / 2
A área máxima desse triângulo ocorrerá no vértice da parábola da equação (3x - x²) / 2, visto ser uma função de segundo grau decrescente pois a < 0.

x = -b/(2.a) => x = -3/(-1.2) => x = -3/-2 = 1,5

Calculando a área teremos:
Área = (3 - x).x / 2
Área = (3 - 1,5).1,5 / 2
Área = 1,5.1,5/2
Área = 2,25 / 2
Área = 1,125

Answer 2

A área do triângulo é dada por base x altura sobre 2

$\fbox{ A_t=\dfrac{b\cdot h}{2} }$

Substituindo os dados do exercício temos:

$A_t=\dfrac{(3-x)\cdot x}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~(aplicando~distributiva...)\\\\\\A_t=\dfrac{-x^2+3x}{2}~\Leftrightarrow~-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x$

Note que a área do triângulo ficou definida por uma função quadrática (ax²+bx+c) com a < 0 (apresentando concavidade voltada para baixo e ponto máximo).

O exercício quer o valor de x para o qual a área do triângulo possa ser a maior possível, ou seja, qual o valor de x para que a função quadrática (que está representando a área do triângulo) atinja seu ponto máximo (vértice da parábola que representa a função).

Esse valor para x (x do vértice) pode ser obtido pela seguinte razão

$\fbox{ X_v=\dfrac{-b}{2a} }$

Substituindo

$X_v=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{2\cdot\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}=\dfrac{-\dfrac{3}{2\hspace{-7}\diagup}}{-\dfrac{2}{2\hspace{-7}\diagup}}=\dfrac{-3}{-2}=\fbox{ \dfrac{3}{2} }$

Portanto, quando x = 3/2 (1.5) a função atinge seu ponto máximo, e por consequência, a área do triângulo é a maior possível.

Observe o gráfico da função: