Question

Os amigos Alberto, Beto, Carlos, Daniel, Elisa e Fernanda vão ao cinema e eles devem ocupar as 6 poltronas que estão livres em uma fileira do cinema.

(a) De quantas maneiras eles podem ocupar as poltronas, se Elisa e Fernanda querem se sentar uma imediatamente ao lado da outra?

(b) De quantas maneiras eles podem ocupar as poltronas se Elisa e Fernanda não querem se sentar uma imediatamente ao lado da outra?

(c) De quantas maneiras eles podem ocupar as poltronas se Elisa e Fernanda devem ocupar as duas poltronas das extremidades da fileira de poltronas?

Answer 1

Resposta:

a) 240 maneiras.

b) 576 maneiras.

c) 48 maneiras.

Explicação passo a passo:

Oi.

Este é um problema de Arranjo.

a) 1. Temos 6 poltronas para 6 pessoas. Porém, Elisa e Fernanda devem se sentar uma ao lado da outra. Para resolver, vamos considerar que ambas formam um bloco, assim:

[ E F ] _ _ _ _

2. Ao considerá-las um bloco único, temos 4 assentos restantes para os outros 4 amigos, portanto podemos aplicar 4!.

[ E F ] 4 . 3 . 2 . 1

3. Porém, o bloco Elisa e Fernanda pode permutar entre si e permutar como bloco único nas posições da fileira de poltronas. Então, temos que multiplicar 4! . 2. 5.

Permutação entre si: [ E F ] _ _ _ _  ou  [ F E ] _ _ _ _ = 2 possibilidades

Permutação como bloco na fileira: [ E F ] _ _ _ _ ,  _ [ E F ] _ _ , _ _ [ E F ] _ _  , _ _ _ [ E F ] _  ou _ _ _ _ [ E F ] = 5 possibilidades

Logo, 4! . 2. 5 = 240 maneiras.

b) 1. Temos 6 possibilidades de alguém ocupar a primeira poltrona. Suponhamos que Fernanda ocupou o primeiro assento.

6 _ _ _ _ _

2. Considerando a quantidade de pessoas restantes, temos 5 possibilidades (Alberto, Beto, Carlos, Daniel ou Elisa), mas Elisa não pode estar ao lado de Fernada. Então, nossas possibilidades são reduzidas pra 4 (Alberto, Beto, Carlos ou Daniel).

6 . 4 _ _ _ _

3. Suponhamos que Alberto tenha sentado ao lado de Fernada, nos resta agora 4 pessoas (Beto, Carlos, Daniel ou Elisa) para ocuparem as poltronas restantes.

6 . 4 . 4 . 3 . 2 . 1  ou 6 . 4 . 4! = 576 maneiras.

c) 1. Ambas devem ficar cada uma em uma ponta da fileira, assim:

E _ _ _ _ F

2. Nos restam 4 poltronas para 4 pessoas, logo 4!.

E . 4 . 3 . 2 . 1 . F

3. Entretanto, temos que considerar que Elisa e Fernada podem permutar entre si, assim:

E _ _ _ _ F  ou  F _ _ _ _ E  = 2 possibilidades de permutação

4. Portanto, 4! . 2 = 48 maneiras.