Question

Onde a função h(x) = |x − 1| + |x + 2| é derivável? Dê uma fórmula para h' e esboce os gráficos de h e h'.

Answer 1

Em vez de dizer onde a função é derivável vamos encontrar o animal primeiro e responder onde a função é derivável em seguida (animal seria h', quis fazer um trocadilho. entendeu? ENTENDEU?? caara, sou um jênio do umô...)

i) Vamos encontrar a derivada de $f(x)=|x|$ pela definição:

$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\\ \\ f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{|x+h|-|x|}{h}.\frac{|x+h|+|x|}{|x+h|+|x|}\\ \\ f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h(|x+h|+|x|)}\\ \\ f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(|x+h|+|x|)}\\ \\ f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{2x+h}{|x+h|+|x|}=\frac{2x}{|x|+|x|}\\ \\ \boxed{f'(x)=\frac{x}{|x|}}$

ii) Agora que temos a derivada de $f(x) = |x|$ podemos calcular a derivada da função $h(x)$

$h(x)=|x-1|+|x+2|\Rightarrow \boxed{\boxed{h'(x)=\frac{x-1}{|x-1|}+\frac{x+2}{|x+2|}}}$

Vendo a expressão de $h'$ vemos que a função é derivável em toda reta, menos nos pontos $x=-2$ e $x=1$.

Agora só ficou faltando o desenho do gráfico das funções $h(x)$ e $h'(x)$. Para isso, olha o anexo.