Question

(Olimpíada de Matemática) Um polígono convexo de n lados tem exatamente 3 ângulos internos obtusos. Determine os possíveis valores de n.

Answer 1

Sejam $\alpha _{1},\alpha_{2}$ e $\alpha_{3}$ os ângulos obtusos descritos e $\alpha _{4},\alpha _{5},...,\alpha_{n}$ os ângulos internos agudos do polígono .

Veja que como os ângulos $\alpha _{1},\alpha _{2}$ e $\alpha _{3}$ são obtusos então obrigatoriamente, $\alpha _{1}+ \alpha _{2} +\alpha _{3}<540$º (*)

Além disso, temos que $\alpha _{4}+\alpha _{5}+...+\alpha_{n}<90(n-3)$(**)

Daí, somando (*) + (**) obtemos:

$\alpha_{1} +\alpha_{2} +\alpha_{3} +\alpha_{4} +...+\alpha_{n}<$$90n+270$º.

Mas veja que $\alpha_{1} +\alpha_{2} +\alpha_{3} +\alpha_{4} +...+\alpha_{n}=180(n-2)$. Daí substituindo na inequação anterior teremos 180º(n-2) < 90n + 270º que implica em 90n < 630º ⇒ n < 7.

Daí, os possíveis valores de n são 4,5 e 6.

Comentário final: Note que n não pode ser igual a 3, já que $\alpha_{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>180$.

Resposta: Os possíveis valores de n são 4, 5 e 6.

Caso tenha dúvidas quanto a resolução use os comentários.