Question

(Olimpíada de matemática) Há três cartas viradas sobre uma mesa. Sabe-se que em cada uma delas está escrito um número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e Tomás as seguintes informações:

I) todos os números escritos nas cartas são diferentes.

II) a soma dos números dá 13.

III) os números estão em ordem crescente da esquerda à direita.

Primeiro Carlos olha o número da carta da esquerda e diz: "Não tenho informações suficientes para determinar os outros dois números". Em seguida, Tomás olha o número na carta da direita e diz: "Não tenho informações suficientes para determinar os dois outros números". Por fim, Samuel olha a carta do meio e diz "Não tenho informações suficientes para determinar os dois outros números". Sabendo que cada um deles sabe que os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o numero da carta do meio??
Já tentei de tudo, mas tá impossível, alguém sabe??

Answer 1

Dentro fatos impostos pelas condições i) ii) e iii), temos as seguintes combinações possíveis: 

1 2 10 

1 3 9 

1 4 8 

1 5 7 

2 3 8 

3 4 6 

Os números acima estão na ordem das cartas. Virando-se a carta da esquerda, para que possa haver mais de uma possibilidade de se arranjar os números de forma que satisfaçam a todas as condições impostas, o número deve ser 1. 

Nas demais combinações, é possível determinar qual a combinação. Olhando-se para a carta da direita, a única forma de haver mais de uma combinação possível é tirando-se o número 8. 
Então, a combinação das cartas é a seguinte: 

1 4 8, o número do meio ó o 4, 

Answer 2

Primeiramente vamos fazer algumas considerações iniciais, vamos representar a primeira carta pela letra x, a segunda pela letra y e a terceira pela letra z. Sendo x, y e z os números das cartas da esquerda, do meio e da direita, respectivamente. Temos que $x \ \textless \ y \ \textless \ z$ , já que as cartas não só são distintas, como a ordem das mesmas é crescente, e também temos que $x + y + z = 13$. A primeira ideia interessante a ser notada nesse problema embora de certa forma um pouco obvia é que $x + x + x\ \textless \ x+y+z$ e isso indica que o valor máximo que x poderia assumir é 4. No entanto $x \neq 4$, pois se por um momento considerássemos que $x = 4$, os menores valores possíveis que y e z poderiam assumir seriam respectivamente 5 e 6, o que iria desrespeitar a condição da soma igual a 13. Se $x = 3$, se concluiria que $y = 4$ e $z = 6$, o que dado as proposições se mostra falso. Então temos que $x = 1$ ou $x = 2$ e portanto, $y + z \geq 11$. Sabemos que $2 \ \textless \ y \ \textless \ z$, portanto conclui-se que $6 \leq z \leq 9$. Se $z = 6$, Tomás concluiria que $y = 5$ e $x = 2$, e isso desrespeitaria novamente as proposições dadas, portanto $z \neq 6$. Se $z = 9$, Tomás concluiria que $x = 1$ e $y = 3$. Assim, temos 2 possibilidades que são: $z = 7$ ou $z = 8$.
Neste momento, poderia se achar todas as possíveis soluções. Se $x = 1$ e $z = 7$, teríamos $y = 5$. Caso $x = 1$ e $z = 8$, teríamos $y = 4$. Caso $x = 2$ e $z = 7$, teriamos $y = 4$. E por último caso $x = 2$ e $z = 8$, teríamos $y = 3$. Veja então que se $y = 3$, iria-se concluir que $x = 2$ e $z = 8$, e que se $y = 5$, concluiria-se que $x = 1$ e $z = 7$. Logo a carta do meio só pode ser a carta entre 3 e 5. Logo a carta do meio é a número 4.

Espero ter ajudado, se não tiver entendido algo na resolução só falar.